Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2020

Tenemos dos esferas metálicas aisladas y muy alejadas entre sí, de radios $R$ (esfera 1) y $2R$ (esfera 2). La esfera 1 está inicialmente cargada con $20\ \text{nC}$ y la esfera 2 está inicialmente descargada. Sabemos que el campo eléctrico en la superficie de la esfera 1, mientras que está aislada, es de $18\,000\ \text{V/m}$.

En cierto momento se rompe el aislamiento de las dos esferas conectándolas mediante un conductor muy fino (puede suponerse que este conductor no almacena ninguna carga). Se pide:

a) Calcule el potencial de la esfera 1 cuando se encontraba aislada.

b) Calcule la carga en cada esfera después de conectarlas.

c) Calcule el campo eléctrico en la superficie de la esfera 2 después de conectarlas.

Datos: constante de la ley de Coulomb, $k = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$; $1\ \text{nC} = 10^{-9}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Calcule el potencial de la esfera 1 cuando se encontraba aislada.}$

El campo eléctrico en la superficie de una esfera conductora cargada es el mismo que crearía una carga puntual situada en su centro:

$E = K\dfrac{Q}{R^2}$

De ahí se despeja el radio, que el enunciado no da explícitamente:

$R = \sqrt{\dfrac{K\,Q}{E}} = \sqrt{\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot20\cdot10^{-9}}{18\,000}}$

$R = 0{,}10\ \text{m} = 10\ \text{cm}$

Y con él, el potencial de la esfera:

$V_1 = K\dfrac{Q}{R} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{20\cdot10^{-9}}{0{,}10}$

$V_1 = 1{,}80\cdot10^{3}\ \text{V}$

Obsérvese la relación entre ambas magnitudes: $V = E\,R$, es decir, $18\,000\cdot0{,}10 = 1\,800\ \text{V}$, lo que sirve de comprobación rápida.

$\textbf{b) Calcule la carga en cada esfera después de conectarlas.}$










Al unirlas con el conductor forman un único conductor, y en el equilibrio electrostático todo conductor está a un mismo potencial:

$K\dfrac{Q_1'}{R} = K\dfrac{Q_2'}{2R}\;\Rightarrow\; Q_2' = 2\,Q_1'$

A esta condición se añade la conservación de la carga, ya que el hilo no almacena ninguna.





$Q_1' + Q_2' = Q_1 + Q_2 = 20 + 0 = 20\ \text{nC}$

Sustituyendo la primera relación en la segunda:

$Q_1' + 2\,Q_1' = 20\;\Rightarrow\; Q_1' = \dfrac{20}{3} = 6{,}67\ \text{nC}$

$Q_2' = 2\cdot6{,}67 = 13{,}3\ \text{nC}$

La carga se reparte en proporción a los radios: la esfera grande, de radio doble, se queda con el doble de carga. La esfera 1 cede dos tercios de la suya, ya que de partida estaba a mayor potencial —la esfera 2 estaba a potencial nulo por estar descargada—.

$\textbf{c) Calcule el campo eléctrico en la superficie de la esfera 2 después de conectarlas.}$

Se aplica de nuevo la expresión del campo en la superficie, ahora con el radio y la carga de la esfera 2:

$E_2 = K\dfrac{Q_2'}{(2R)^2} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{13{,}3\cdot10^{-9}}{0{,}20^2}$

$E_2 = 3{,}00\cdot10^{3}\ \text{V/m}$

Merece la pena comparar este valor con el campo en la superficie de la esfera pequeña tras la conexión:

$E_1 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{6{,}67\cdot10^{-9}}{0{,}10^2} = 6{,}00\cdot10^{3}\ \text{V/m}$

Aunque las dos esferas están al mismo potencial, $600\ \text{V}$, el campo en la superficie de la pequeña es el doble. Es la razón por la que en los conductores con puntas el campo se concentra en ellas y el aire acaba ionizándose: es el llamado poder de las puntas, en el que se basa el pararrayos.