Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2020

El aluminio-26 es un radioisótopo cuyo periodo de semidesintegración es $7{,}17 \cdot 10^{5}$ años. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que una muestra de este material se reduzca a un 5 % de la cantidad original?

La cantidad de núcleos radiactivos que quedan sin desintegrar decae exponencialmente con el tiempo:

$N = N_0\,e^{-\lambda t}$

donde la constante de desintegración se relaciona con el periodo de semidesintegración:

$\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} = \dfrac{\ln 2}{7{,}17\cdot10^{5}} = 9{,}67\cdot10^{-7}\ \text{años}^{-1}$

Se impone la condición del enunciado, que quede el $5\ \%$ de la cantidad inicial:

$\dfrac{N}{N_0} = 0{,}05 = e^{-\lambda t}$

Se toman logaritmos neperianos en ambos miembros y se despeja el tiempo:

$\ln(0{,}05) = -\lambda\,t\;\Rightarrow\; t = \dfrac{\ln 20}{\lambda}$

$t = \dfrac{2{,}996}{9{,}67\cdot10^{-7}} = 3{,}10\cdot10^{6}\ \text{años}$

Deben transcurrir unos $3{,}1$ millones de años.

Puede comprobarse de otra forma, contando periodos de semidesintegración. Reducirse al $5\ \%$ equivale a dividir entre $20$, y como cada periodo divide entre dos:

$2^{n} = 20\;\Rightarrow\; n = \dfrac{\ln 20}{\ln 2} = 4{,}32\ \text{periodos}$

$t = 4{,}32\cdot7{,}17\cdot10^{5} = 3{,}10\cdot10^{6}\ \text{años}$

Este isótopo, el aluminio-26, se usa precisamente para datar acontecimientos del sistema solar primitivo: su periodo es demasiado corto para que quede algo del original, y su presencia en los meteoritos se detecta a través de los productos de su desintegración.