Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2020

La masa del neutrón es igual a $1{,}00137$ veces la masa del protón. Si un neutrón y un protón tienen la misma velocidad, ¿cuál será el cociente entre la longitud de onda asociada al neutrón y la longitud de onda asociada al protón? ¿Cuál de las dos será mayor?

Según la hipótesis de De Broglie, toda partícula en movimiento lleva asociada una onda de longitud:

$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m\,v}$

Las dos partículas tienen la misma velocidad, así que al hacer el cociente entre sus longitudes de onda se simplifican tanto la constante de Planck como la velocidad:

$\dfrac{\lambda_n}{\lambda_p} = \dfrac{h/(m_n\,v)}{h/(m_p\,v)} = \dfrac{m_p}{m_n}$

El enunciado indica que la masa del neutrón es $1{,}00137$ veces la del protón:

$\dfrac{\lambda_n}{\lambda_p} = \dfrac{m_p}{1{,}00137\,m_p} = \dfrac{1}{1{,}00137}$

$\dfrac{\lambda_n}{\lambda_p} = 0{,}99863$

El cociente es ligeramente menor que la unidad, de modo que la longitud de onda mayor es la del protón.

El resultado es fácil de razonar sin cuentas: a igualdad de velocidad, la partícula más masiva tiene mayor momento lineal, y como la longitud de onda es inversamente proporcional al momento, le corresponde una longitud de onda menor. El neutrón es algo más pesado que el protón, luego su onda asociada es algo más corta.

La diferencia, de apenas un $0{,}14\ \%$, es tan pequeña que en la práctica ambas longitudes de onda son indistinguibles: protón y neutrón tienen masas casi idénticas, y de hecho esa semejanza es la que permite tratarlos conjuntamente como nucleones.