Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla-La Mancha · 2020

Una lente delgada convergente tiene una distancia focal $f'$, y observamos con ella un objeto de altura $y$ situado a una distancia $2f'$ de la lente, a la izquierda de la lente (consideramos que la luz viaja de izquierda a derecha). Construya un diagrama de rayos para la formación de la imagen, explicando dónde se encuentra dicha imagen y qué altura tiene. ¿Qué clase de imagen es?

Los tres rayos principales de una lente delgada se trazan así:

i) El rayo que llega paralelo al eje óptico emerge pasando por el foco imagen $F'$.

ii) El rayo que pasa por el foco objeto $F$ emerge paralelo al eje óptico.

iii) El rayo que pasa por el centro óptico no se desvía.

Basta con dos de ellos: donde se cortan los rayos emergentes está la imagen.





El resultado del trazado se confirma con la ecuación de las lentes delgadas. Con el criterio de signos habitual —la luz viaja de izquierda a derecha y las distancias se miden desde la lente, positivas hacia la derecha—, el objeto está en $s = -2f'$:

$\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$

$\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{-2f'} = \dfrac{2 - 1}{2f'} = \dfrac{1}{2f'}$

$s' = 2f'$

La imagen se forma a una distancia $2f'$ a la derecha de la lente, es decir, simétrica del objeto respecto de ella.

Para el tamaño se calcula el aumento lateral:

$\beta = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{2f'}{-2f'} = -1$

$y' = \beta\,y = -y$

La imagen tiene exactamente la misma altura que el objeto, $y$, pero con el signo cambiado.

Las características de la imagen son, por tanto:

i) Real, porque $s' > 0$ la sitúa al otro lado de la lente, formada por corte efectivo de los rayos emergentes. Podría recogerse sobre una pantalla.

ii) Invertida, porque el aumento lateral es negativo.

iii) Del mismo tamaño que el objeto, ya que $|\beta| = 1$.

La posición $s = -2f'$ es precisamente la única en la que objeto e imagen tienen el mismo tamaño, y es la que se usa en los sistemas de copia fotográfica y en los proyectores de reproducción $1{:}1$.