Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Supongamos que el radio del Sol aumenta aunque sin variar su masa.

a) ¿Cambiaría la velocidad de escape desde el Sol?

b) ¿Cambiaría la órbita de la Tierra?

Explique razonadamente (esta situación de cambio en el radio del Sol ocurrirá en un futuro lejano, cuando se agote la provisión de hidrógeno de su núcleo).

$\textbf{a) ¿Cambiaría la velocidad de escape desde el Sol?}$

Sí, disminuiría.

La velocidad de escape desde la superficie de un astro se obtiene imponiendo la conservación de la energía mecánica entre la superficie y el infinito, donde el cuerpo debe llegar con velocidad nula:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2 - G\dfrac{M\,m}{R} = 0\;\Rightarrow\; v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

En esa expresión aparece el radio del astro en el denominador. Si la masa $M$ no cambia pero el radio $R$ aumenta, el cociente disminuye y con él la velocidad de escape:

$R\ \uparrow\;\Rightarrow\; \dfrac{2GM}{R}\ \downarrow\;\Rightarrow\; v_{\text{esc}}\ \downarrow$

La razón física es clara: al hincharse el Sol, su superficie se aleja del centro, de modo que un cuerpo situado sobre ella está menos ligado gravitatoriamente y necesita menos energía para escapar.

$\textbf{b) ¿Cambiaría la órbita de la Tierra?}$

No, la órbita de la Tierra no cambiaría.

La atracción gravitatoria que el Sol ejerce sobre la Tierra depende únicamente de las masas de ambos y de la distancia entre sus centros:

$F = G\dfrac{M_{\text{Sol}}\,M_T}{r^2}$

El radio del Sol no aparece en ninguna parte. Esto es consecuencia del teorema de Gauss aplicado al campo gravitatorio: una distribución esférica de masa crea en el exterior el mismo campo que si toda su masa estuviera concentrada en el centro, sea cual sea su tamaño.

Como la masa del Sol se mantiene, la fuerza sobre la Tierra es la misma y también lo son el radio de su órbita y su periodo, según la tercera ley de Kepler:

$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G\,M_{\text{Sol}}}\,r^3$

Conviene precisar que este razonamiento vale mientras la Tierra siga estando fuera del Sol. En la evolución real, el Sol se expandirá como gigante roja hasta un radio comparable al de la órbita terrestre, y entonces la Tierra ya no estaría en el exterior de la distribución de masa y el resultado dejaría de aplicarse. Además, en esa fase el Sol sí perderá masa apreciable, lo que ensancharía la órbita.