Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2020

Un campo magnético dirigido según la dirección del eje $Z$, sentido positivo, disminuye con el tiempo según la relación $B = B_0(1 - t/4)$, donde $B_0 = 1\ \text{T}$ y el tiempo $t$ se expresa en segundos. Si tenemos una espira plana de área $A = 20\ \text{cm}^2$ colocada en el plano $XY$, cuya resistencia eléctrica es $0{,}25\ \Omega$, se pide:

a) Calcule la disminución de flujo a través de la espira que ocurre entre $t = 0{,}2\ \text{s}$ y $t = 0{,}7\ \text{s}$.

b) Determine la fuerza electromotriz inducida en la espira.

c) Determine la corriente inducida en la espira y explique cuál es su sentido. Se valorará un diagrama apropiado.

$\textbf{a) Calcule la disminución de flujo a través de la espira que ocurre entre } \boldsymbol{t = 0{,}2\ \text{s}}\textbf{ y } \boldsymbol{t = 0{,}7\ \text{s}}\textbf{.}$

La espira está en el plano $XY$ y el campo lleva la dirección del eje $Z$, de modo que campo y vector superficie son paralelos y el flujo es simplemente su producto:

$\Phi(t) = B(t)\,A = B_0\left(1 - \dfrac{t}{4}\right)A$

Se expresa el área en unidades del Sistema Internacional:

$A = 20\ \text{cm}^2 = 20\cdot10^{-4}\ \text{m}^2 = 2\cdot10^{-3}\ \text{m}^2$

$\Phi(0{,}2) = 1\cdot\left(1 - \dfrac{0{,}2}{4}\right)\cdot2\cdot10^{-3} = 1{,}90\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$

$\Phi(0{,}7) = 1\cdot\left(1 - \dfrac{0{,}7}{4}\right)\cdot2\cdot10^{-3} = 1{,}65\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$

La disminución de flujo en ese intervalo es:

$|\Delta\Phi| = 1{,}90\cdot10^{-3} - 1{,}65\cdot10^{-3} = 2{,}50\cdot10^{-4}\ \text{Wb}$

$\textbf{b) Determine la fuerza electromotriz inducida en la espira.}$

Por la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo cambiada de signo:

$\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -A\,B_0\dfrac{d}{dt}\left(1 - \dfrac{t}{4}\right) = A\,B_0\dfrac{1}{4}$

$\varepsilon = \dfrac{2\cdot10^{-3}\cdot1}{4} = 5\cdot10^{-4}\ \text{V}$

Obsérvese que el campo disminuye linealmente con el tiempo, de modo que su derivada es constante y la fuerza electromotriz inducida también: no depende del instante considerado.

$\textbf{c) Determine la corriente inducida en la espira y explique cuál es su sentido.}$










Aplicando la ley de Ohm al circuito de la espira:

$I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{5\cdot10^{-4}}{0{,}25}$

$I = 2\cdot10^{-3}\ \text{A} = 2\ \text{mA}$

El sentido lo fija la ley de Lenz: la corriente inducida se opone siempre a la variación de flujo que la produce.





Aquí el campo apunta en el sentido positivo del eje $Z$ y su módulo disminuye con el tiempo, de manera que el flujo saliente está disminuyendo. Para oponerse a esa disminución, la corriente inducida debe crear en el interior de la espira un campo magnético del mismo sentido que el que se está perdiendo, es decir, también hacia $+Z$.

Aplicando la regla de la mano derecha, eso ocurre si la corriente circula en sentido antihorario cuando se mira la espira desde el semieje $Z$ positivo, como indica el esquema.

Conviene señalar la diferencia con el caso contrario: si el campo estuviera aumentando, la corriente circularía en sentido horario. Lo que decide el sentido no es hacia dónde apunta el campo, sino si el flujo crece o decrece.