Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2020

Tres cargas puntuales de valores $+q$, $+2q$ y $-4q$ están fijas en los vértices de un triángulo isósceles de lado $d = 10\ \text{cm}$ tal como se muestra en la figura. La energía potencial electrostática del conjunto de las tres cargas es igual a $U = -9 \cdot 10^{-3}\ \text{J}$. La constante de la ley de Coulomb es $k = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$. Calcule:

a) El valor de la carga $q$.

b) El potencial en el punto medio del segmento que une las dos cargas positivas.

c) El módulo y la dirección del campo eléctrico en el punto medio del segmento que une las dos cargas positivas. Indique la dirección y el sentido mediante un diagrama apropiado.

$\textbf{a) El valor de la carga } \boldsymbol{q}\textbf{.}$










La energía potencial electrostática de un conjunto de cargas es la suma de las energías de todas las parejas posibles, sin repetir ninguna:

$U = K\left(\dfrac{q_1 q_2}{r_{12}} + \dfrac{q_1 q_3}{r_{13}} + \dfrac{q_2 q_3}{r_{23}}\right)$

Como el triángulo es equilátero, los tres lados miden lo mismo y la distancia común se saca factor común.





Con las cargas del enunciado, $+q$, $+2q$ y $-4q$:

$U = \dfrac{K}{d}\left[q\cdot2q + q\cdot(-4q) + 2q\cdot(-4q)\right]$

$U = \dfrac{K\,q^2}{d}\,(2 - 4 - 8) = -\dfrac{10\,K\,q^2}{d}$

Se iguala al valor del enunciado y se despeja la carga:

$-\dfrac{10\cdot9\cdot10^{9}\,q^2}{0{,}10} = -9\cdot10^{-3}$

$q^2 = \dfrac{9\cdot10^{-3}\cdot0{,}10}{9\cdot10^{10}} = 10^{-14}$

$q = 10^{-7}\ \text{C} = 0{,}1\ \mu\text{C}$

$\textbf{b) El potencial en el punto medio del segmento que une las dos cargas positivas.}$

El potencial es una magnitud escalar, de modo que basta sumar el que crea cada carga sin preocuparse de direcciones:

$V = K\sum\dfrac{q_i}{r_i}$

El punto medio de la base está a $d/2$ de cada carga positiva y a la altura del triángulo equilátero de la negativa:

$\dfrac{d}{2} = 0{,}050\ \text{m}\qquad h = \dfrac{d\sqrt3}{2} = 0{,}0866\ \text{m}$

$V = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{10^{-7}}{0{,}050} + \dfrac{2\cdot10^{-7}}{0{,}050} - \dfrac{4\cdot10^{-7}}{0{,}0866}\right)$

$V = 9\cdot10^{9}\,(2{,}00\cdot10^{-6} + 4{,}00\cdot10^{-6} - 4{,}62\cdot10^{-6})$

$V = 1{,}24\cdot10^{4}\ \text{V}$

$\textbf{c) El módulo y la dirección del campo eléctrico en el punto medio del segmento que une las dos cargas positivas.}$

Ahora sí importan las direcciones, porque el campo es una magnitud vectorial. Se calcula el módulo del campo que crea cada carga:

$E = K\dfrac{|q|}{r^2}$

De la carga $+q$, situada a la izquierda, con el campo saliendo de ella hacia la derecha:

$E_1 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{10^{-7}}{0{,}050^2} = 3{,}60\cdot10^{5}\ \text{N/C}$

De la carga $+2q$, situada a la derecha, con el campo hacia la izquierda:

$E_2 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-7}}{0{,}050^2} = 7{,}20\cdot10^{5}\ \text{N/C}$

De la carga $-4q$, situada arriba. Al ser negativa el campo apunta hacia ella, es decir, verticalmente hacia arriba:

$E_3 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot10^{-7}}{0{,}0866^2} = 4{,}80\cdot10^{5}\ \text{N/C}$

Por el principio de superposición, sumando las componentes:

$E_x = E_1 - E_2 = 3{,}60\cdot10^{5} - 7{,}20\cdot10^{5} = -3{,}60\cdot10^{5}\ \text{N/C}$

$E_y = E_3 = 4{,}80\cdot10^{5}\ \text{N/C}$

$\vec E = -3{,}60\cdot10^{5}\,\vec{\imath} + 4{,}80\cdot10^{5}\,\vec{\jmath}\ \text{N/C}$

Y su módulo:

$|\vec E| = \sqrt{(3{,}60\cdot10^{5})^2 + (4{,}80\cdot10^{5})^2} = 6{,}00\cdot10^{5}\ \text{N/C}$

El campo resultante apunta hacia arriba y hacia la izquierda, formando con el sentido negativo del eje $X$ un ángulo:

$\alpha = \arctan\dfrac{4{,}80\cdot10^{5}}{3{,}60\cdot10^{5}} = 53{,}1^\circ$

es decir, dirigido hacia la carga $+q$ y hacia la carga $-4q$, que son precisamente las dos que lo empujan en ese sentido.