Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un planeta gigante de radio $R$ tiene dos satélites $S_1$ y $S_2$ que giran a su alrededor en órbitas circulares de radios $10R$ y $20R$ respectivamente. La masa del planeta es $M = 10^{27}\ \text{kg}$, y el tiempo invertido por el satélite $S_1$ en cada órbita es 4 días, 13 horas y 25 minutos.

a) Calcule el radio $R$ del planeta en km.

b) Calcule la velocidad orbital de $S_1$ en km/s.

c) Calcule el periodo orbital de $S_2$.

Dato: constante de gravitación, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule el radio } \boldsymbol{R}\textbf{ del planeta en km.}$










La única fuerza sobre el satélite es la atracción del planeta, y como su órbita es circular esa fuerza es la centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton y sustituyendo la velocidad por $2\pi r/T$ se llega a la tercera ley de Kepler:

$G\dfrac{M\,m}{r^2} = m\,\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}\;\Rightarrow\; T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$





Se despeja el radio de la órbita de $S_1$, con el periodo en segundos:

$T_1 = 4\cdot86\,400 + 13\cdot3\,600 + 25\cdot60 = 3{,}939\cdot10^{5}\ \text{s}$

$r_1 = \sqrt[3]{\dfrac{G\,M\,T_1^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot10^{27}\cdot(3{,}939\cdot10^{5})^2}{4\pi^2}}$

$r_1 = 6{,}40\cdot10^{8}\ \text{m}$

Como el enunciado dice que esa órbita tiene radio $10R$:

$R = \dfrac{r_1}{10} = 6{,}40\cdot10^{7}\ \text{m} = 6{,}40\cdot10^{4}\ \text{km}$

El planeta tiene un radio de unos $64\,000\ \text{km}$, diez veces el terrestre, lo que es coherente con que el enunciado lo llame gigante.

$\textbf{b) Calcule la velocidad orbital de } \boldsymbol{S_1}\textbf{ en km/s.}$

En un movimiento circular uniforme, la velocidad es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el periodo:

$v_1 = \dfrac{2\pi r_1}{T_1} = \dfrac{2\pi\cdot6{,}40\cdot10^{8}}{3{,}939\cdot10^{5}}$

$v_1 = 1{,}02\cdot10^{4}\ \text{m/s} = 10{,}2\ \text{km/s}$

$\textbf{c) Calcule el periodo orbital de } \boldsymbol{S_2}\textbf{.}$

Aquí conviene usar la tercera ley de Kepler en forma de proporción entre los dos satélites, ya que la constante $4\pi^2/(GM)$ es la misma para ambos y no hace falta volver a sustituir los datos:

$\dfrac{T_2^2}{T_1^2} = \dfrac{r_2^3}{r_1^3} = \left(\dfrac{20R}{10R}\right)^3 = 2^3 = 8$

$T_2 = T_1\sqrt8 = T_1\cdot2\sqrt2 = 3{,}939\cdot10^{5}\cdot2{,}83$

$T_2 = 1{,}11\cdot10^{6}\ \text{s}$

Y expresado en días:

$T_2 = \dfrac{1{,}11\cdot10^{6}}{86\,400} = 12{,}9\ \text{días}$

Al duplicar el radio de la órbita, el periodo se multiplica por $2\sqrt2 \approx 2{,}83$, no por dos: la relación no es lineal sino que el periodo va con la potencia $3/2$ del radio.