Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2020

Dos ondas electromagnéticas de igual longitud de onda $\lambda = 600\ \text{nm}$ e igual amplitud $E_0 = 500\ \text{V/m}$ se propagan en el vacío en la misma dirección y sentido, pero están desfasadas $90^\circ$ entre sí. Calcule:

a) ¿Cuál es su frecuencia, su frecuencia angular, su periodo y su número de ondas?

b) Escriba la ecuación de onda resultante de su interferencia.

c) ¿Cuál es el desfase entre dos puntos separados por una distancia de $200\ \text{nm}$?

Datos: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$. Ayuda: $\text{sen}\,A + \text{sen}\,B = 2\,\text{sen}\dfrac{A+B}{2}\,\cos\dfrac{A-B}{2}$.

$\textbf{a) ¿Cuál es su frecuencia, su frecuencia angular, su periodo y su número de ondas?}$

Las dos ondas se propagan por el vacío, de modo que su velocidad es la de la luz y la frecuencia sale directamente de la longitud de onda:

$c = \lambda\,f\;\Rightarrow\; f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{600\cdot10^{-9}}$

$f = 5\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

Es la frecuencia de la luz visible, en la zona del amarillo-verde.

De ella se obtienen las demás magnitudes:

$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot5\cdot10^{14} = 3{,}14\cdot10^{15}\ \text{rad/s}$

$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{5\cdot10^{14}} = 2\cdot10^{-15}\ \text{s}$

$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{600\cdot10^{-9}} = 1{,}05\cdot10^{7}\ \text{rad/m}$

$\textbf{b) Escriba la ecuación de onda resultante de su interferencia.}$

Las dos ondas tienen la misma amplitud, la misma frecuencia y la misma dirección de propagación, y están desfasadas $90^\circ = \pi/2\ \text{rad}$:

$E_1(x,t) = E_0\,\text{sen}(\omega t - kx)$

$E_2(x,t) = E_0\,\text{sen}\left(\omega t - kx + \dfrac{\pi}{2}\right)$

Por el principio de superposición, la onda resultante es la suma de ambas. Se aplica la ayuda del enunciado:

$\text{sen}\,A + \text{sen}\,B = 2\,\text{sen}\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$

con $A = \omega t - kx$ y $B = \omega t - kx + \pi/2$:

$\dfrac{A+B}{2} = \omega t - kx + \dfrac{\pi}{4}\qquad \dfrac{A-B}{2} = -\dfrac{\pi}{4}$

$E = 2\,E_0\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\,\text{sen}\left(\omega t - kx + \dfrac{\pi}{4}\right)$

Como el coseno es una función par, $\cos(-\pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt2/2$:

$E_{\text{res}} = 2\cdot500\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = 707\ \text{V/m}$

Y la ecuación de la onda resultante, en unidades del Sistema Internacional, es:

$E(x,t) = 707\,\text{sen}\left(3{,}14\cdot10^{15}\,t - 1{,}05\cdot10^{7}\,x + \dfrac{\pi}{4}\right)\ \text{V/m}$

Se trata de una interferencia parcialmente constructiva: la amplitud resultante, $707\ \text{V/m}$, es mayor que la de cada onda por separado, pero menor que los $1\,000\ \text{V/m}$ que se obtendrían si estuvieran en fase.

$\textbf{c) ¿Cuál es el desfase entre dos puntos separados por una distancia de } \boldsymbol{200\ \text{nm}}\textbf{?}$

Para un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos depende solo del término espacial:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 1{,}05\cdot10^{7}\cdot200\cdot10^{-9}$

$\Delta\varphi = 2{,}09\ \text{rad}$

Y expresado en grados:

$\Delta\varphi = 2{,}09\ \text{rad}\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi\ \text{rad}} = 120^\circ$

El resultado es inmediato de anticipar: $200\ \text{nm}$ es la tercera parte de la longitud de onda, y un tercio de ciclo son $120^\circ$.