Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2021

Dos átomos cargados con la misma carga ($-1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$) y con masas de $19{,}91 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$ y $21{,}59 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$, respectivamente, se aceleran hasta una velocidad de $6{,}7 \cdot 10^{5}\ \text{m/s}$. Seguidamente entran en una región en la que existe un campo magnético uniforme de $0{,}85\ \text{T}$ y perpendicular a la velocidad de los iones. Determine:

a) Deduzca razonadamente la fórmula que da el radio de cada trayectoria y calcule el cociente entre sus valores.

b) Calcule la separación entre los puntos de impacto en la pantalla ($P$ y $P'$) de ambos átomos cuando hayan recorrido una semicircunferencia cada uno.

c) Realice un esquema con las trayectorias si las cargas mantuviesen el mismo módulo pero fueran una positiva y otra negativa, y calcule la nueva distancia $P$-$P'$ para este caso.

$\textbf{a) Deduzca razonadamente la fórmula que da el radio de cada trayectoria y calcule el cociente entre sus valores.}$










Dentro del campo magnético, la fuerza de Lorentz es perpendicular a la velocidad en todo instante, de modo que no realiza trabajo: el módulo de la velocidad no cambia y solo cambia su dirección.

Una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a la velocidad es una fuerza centrípeta, de manera que la trayectoria es circular. Aplicando la segunda ley de Newton:

$q\,v\,B = \dfrac{m\,v^2}{r}$





Se simplifica una velocidad y se despeja el radio:

$r = \dfrac{m\,v}{q\,B}$

Como los dos iones tienen la misma carga, entran con la misma velocidad y atraviesan el mismo campo, el radio solo depende de la masa. El cociente es, por tanto:

$\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{19{,}91\cdot10^{-27}}{21{,}59\cdot10^{-27}} = 0{,}922$

En eso consiste el espectrómetro de masas: separa isótopos por su masa, ya que a igualdad de todo lo demás cada uno describe una circunferencia de radio distinto.

$\textbf{b) Calcule la separación entre los puntos de impacto en la pantalla } \boldsymbol{(P}\textbf{ y } \boldsymbol{P')}\textbf{ de ambos átomos cuando hayan recorrido una semicircunferencia cada uno.}$

Se calcula el radio de cada trayectoria:

$r_1 = \dfrac{19{,}91\cdot10^{-27}\cdot6{,}7\cdot10^{5}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}85} = 9{,}81\cdot10^{-2}\ \text{m}$

$r_2 = \dfrac{21{,}59\cdot10^{-27}\cdot6{,}7\cdot10^{5}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}85} = 1{,}06\cdot10^{-1}\ \text{m}$

Tras media circunferencia, cada ion vuelve a la pantalla en el punto diametralmente opuesto al de entrada, es decir, a una distancia $2r$ del punto de partida. Como ambos entran por el mismo sitio y se curvan hacia el mismo lado —tienen la misma carga—, la separación entre los impactos es la diferencia de los diámetros:

$d = 2\,r_2 - 2\,r_1 = 2\,(1{,}06\cdot10^{-1} - 9{,}81\cdot10^{-2})$

$d = 1{,}66\cdot10^{-2}\ \text{m} = 1{,}66\ \text{cm}$

$\textbf{c) Realice un esquema con las trayectorias si las cargas mantuviesen el mismo módulo pero fueran una positiva y otra negativa, y calcule la nueva distancia } \boldsymbol{P}\textbf{-}\boldsymbol{P'}\textbf{ para este caso.}$

Si las cargas tienen signos opuestos, la fuerza de Lorentz cambia de sentido para una de ellas:

$\vec F = q\,(\vec v\times\vec B)$

de modo que las dos trayectorias se curvan hacia lados contrarios: una describe su semicircunferencia hacia la izquierda del punto de entrada y la otra hacia la derecha, como dos semicírculos simétricos respecto de la vertical.

Los radios no cambian, porque en su expresión interviene el valor absoluto de la carga. Pero ahora los dos impactos quedan a lados opuestos del punto de entrada, de manera que la distancia entre ellos es la suma de los diámetros:

$d' = 2\,r_1 + 2\,r_2 = 2\,(9{,}81\cdot10^{-2} + 1{,}06\cdot10^{-1})$

$d' = 4{,}09\cdot10^{-1}\ \text{m} = 40{,}9\ \text{cm}$

La separación pasa de $1{,}66\ \text{cm}$ a casi $41\ \text{cm}$: veinticinco veces mayor. Es la razón por la que un espectrómetro distingue con mucha más facilidad partículas de distinto signo que isótopos del mismo elemento.