Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2021

Tenemos una carga $q_1 = 1\ \mu\text{C}$ en el punto $(5,0)\ \text{cm}$ y otra $q_2 = 4\ \mu\text{C}$ en el punto $(0,2)\ \text{cm}$, como indica el esquema.

a) Determine la fuerza total que experimentará la carga $q_3 = -8\ \mu\text{C}$ situada en el origen de coordenadas.

b) Calcule la energía potencial del conjunto.

c) Si añadimos un campo eléctrico externo de módulo $E = 5 \cdot 10^{7}\ \text{V/m}$ dirigido en la dirección negativa del eje $X$, determine el nuevo valor de la fuerza que siente $q_3$.

Datos: $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$; $1\ \mu\text{C} = 10^{-6}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Determine la fuerza total que experimentará la carga } \boldsymbol{q_3 = -8\ \mu\text{C}}\textbf{ situada en el origen de coordenadas.}$










Sobre $q_3$ actúa una fuerza por cada una de las otras dos cargas, dadas por la ley de Coulomb:

$F = K\dfrac{|q\,q'|}{r^2}$

Como $q_3$ es negativa y las otras dos son positivas, ambas fuerzas son atractivas: cada una apunta hacia la carga que la produce.





Fuerza que ejerce $q_1$, situada en $(5,0)\ \text{cm}$, dirigida hacia ella, es decir, en el sentido $+X$:

$F_{31} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{8\cdot10^{-6}\cdot1\cdot10^{-6}}{0{,}05^2} = 28{,}8\ \text{N}$

Fuerza que ejerce $q_2$, situada en $(0,2)\ \text{cm}$, dirigida hacia ella, en el sentido $+Y$:

$F_{32} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{8\cdot10^{-6}\cdot4\cdot10^{-6}}{0{,}02^2} = 720\ \text{N}$

Por el principio de superposición:

$\vec F = 28{,}8\,\vec{\imath} + 720\,\vec{\jmath}\ \text{N}$

$|\vec F| = \sqrt{28{,}8^2 + 720^2} = 7{,}21\cdot10^{2}\ \text{N}$

La fuerza es casi vertical: aunque $q_2$ solo tiene el cuádruple de carga que $q_1$, está dos veces y media más cerca, y la distancia entra al cuadrado.

$\textbf{b) Calcule la energía potencial del conjunto.}$

La energía potencial de un sistema de cargas es la suma de las energías de todas las parejas posibles, sin repetir ninguna:

$E_p = K\left(\dfrac{q_1\,q_2}{r_{12}} + \dfrac{q_1\,q_3}{r_{13}} + \dfrac{q_2\,q_3}{r_{23}}\right)$

Se necesita la distancia entre $q_1$ y $q_2$, que son los vértices del cateto y la base:

$r_{12} = \sqrt{0{,}05^2 + 0{,}02^2} = 5{,}39\cdot10^{-2}\ \text{m}$

Se sustituye término a término, con los signos de cada carga:

$\dfrac{q_1\,q_2}{r_{12}} = \dfrac{1\cdot10^{-6}\cdot4\cdot10^{-6}}{5{,}39\cdot10^{-2}} = 7{,}43\cdot10^{-11}$

$\dfrac{q_1\,q_3}{r_{13}} = \dfrac{1\cdot10^{-6}\cdot(-8\cdot10^{-6})}{0{,}05} = -1{,}60\cdot10^{-10}$

$\dfrac{q_2\,q_3}{r_{23}} = \dfrac{4\cdot10^{-6}\cdot(-8\cdot10^{-6})}{0{,}02} = -1{,}60\cdot10^{-9}$

$E_p = 9\cdot10^{9}\,(7{,}43\cdot10^{-11} - 1{,}60\cdot10^{-10} - 1{,}60\cdot10^{-9})$

$E_p = -15{,}2\ \text{J}$

La energía es negativa, de modo que el conjunto está ligado: habría que aportar $15{,}2\ \text{J}$ para separar las tres cargas indefinidamente.

$\textbf{c) Si añadimos un campo eléctrico externo de módulo } \boldsymbol{E = 5\cdot10^{7}\ \text{V/m}}\textbf{ dirigido en la dirección negativa del eje } \boldsymbol{X}\textbf{, determine el nuevo valor de la fuerza que siente } \boldsymbol{q_3}\textbf{.}$

El campo externo añade una fuerza más sobre $q_3$:

$\vec F_{\text{ext}} = q_3\,\vec E = (-8\cdot10^{-6})\cdot(-5\cdot10^{7}\,\vec{\imath})$

$\vec F_{\text{ext}} = +400\,\vec{\imath}\ \text{N}$

Como la carga es negativa, la fuerza tiene sentido contrario al campo y apunta hacia el eje $X$ positivo. Se suma a la resultante del apartado (a):

$\vec F' = (28{,}8 + 400)\,\vec{\imath} + 720\,\vec{\jmath} = 428{,}8\,\vec{\imath} + 720\,\vec{\jmath}\ \text{N}$

$|\vec F'| = \sqrt{428{,}8^2 + 720^2} = 8{,}38\cdot10^{2}\ \text{N}$

El campo externo aumenta el módulo de la fuerza en un $16\ \%$ y la desvía apreciablemente de la vertical, aunque la componente debida a $q_2$ sigue siendo la dominante.