Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2021

Un altavoz emite el siguiente sonido: $\Psi(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}(8{,}3\pi x - 2\,960\pi t + \pi)$, en unidades del sistema internacional.

a) Determine las siguientes características de esa onda: periodo, longitud de onda, desfase y velocidad de propagación.

b) ¿Qué diferencia de fase habrá entre dos puntos que están separados $0{,}12\ \text{m}$?

c) ¿Con qué rapidez cambia la presión a $0{,}25\ \text{m}$ de la fuente en $t = 0{,}5\ \text{ms}$? ¿Cuál es la máxima velocidad con que cambia la presión en ese punto?

$\textbf{a) Determine las siguientes características de esa onda: periodo, longitud de onda, desfase y velocidad de propagación.}$

Comparando la función del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$\Psi(x,t) = A\,\text{sen}(kx - \omega t + \varphi_0)$

se identifican directamente:

$A = 0{,}1\ \text{m}\qquad k = 8{,}3\pi\ \text{rad/m}\qquad \omega = 2\,960\pi\ \text{rad/s}\qquad \varphi_0 = \pi\ \text{rad}$

El periodo se obtiene de la frecuencia angular:

$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{2\,960\pi} = 6{,}76\cdot10^{-4}\ \text{s}$

La longitud de onda, del número de ondas:

$\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{8{,}3\pi} = 0{,}241\ \text{m}$

Y la velocidad de propagación, del cociente entre ambos:

$v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{2\,960\pi}{8{,}3\pi} = 357\ \text{m/s}$

El valor es coherente con que se trate de sonido propagándose por el aire, donde la velocidad ronda los $340\ \text{m/s}$.

$\textbf{b) ¿Qué diferencia de fase habrá entre dos puntos que están separados } \boldsymbol{0{,}12\ \text{m}}\textbf{?}$

Para un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos solo depende del término espacial:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 8{,}3\pi\cdot0{,}12$

$\Delta\varphi = 0{,}996\pi = 3{,}13\ \text{rad}$

El resultado es prácticamente $\pi$ radianes, y no por casualidad: la distancia de $0{,}12\ \text{m}$ es casi exactamente media longitud de onda, y dos puntos separados media longitud de onda oscilan en oposición de fase.

$\textbf{c) ¿Con qué rapidez cambia la presión a } \boldsymbol{0{,}25\ \text{m}}\textbf{ de la fuente en } \boldsymbol{t = 0{,}5\ \text{ms}}\textbf{? ¿Cuál es la máxima velocidad con que cambia la presión en ese punto?}$

La rapidez con que cambia la magnitud que oscila es su derivada respecto del tiempo:

$\dfrac{\partial\Psi}{\partial t} = -A\,\omega\cos(kx - \omega t + \varphi_0)$

Se calcula el argumento con los valores pedidos, en unidades del Sistema Internacional:

$t = 0{,}5\ \text{ms} = 5\cdot10^{-4}\ \text{s}$

$kx - \omega t + \varphi_0 = 8{,}3\pi\cdot0{,}25 - 2\,960\pi\cdot5\cdot10^{-4} + \pi$

$= 2{,}075\pi - 1{,}48\pi + \pi = 1{,}595\pi = 5{,}01\ \text{rad}$

Y se sustituye:

$\dfrac{\partial\Psi}{\partial t} = -0{,}1\cdot2\,960\pi\cdot\cos(5{,}01) = -929{,}9\cdot0{,}294$

$\dfrac{\partial\Psi}{\partial t} = -2{,}73\cdot10^{2}\ \text{SI/s}$

El signo negativo indica que en ese instante la magnitud está disminuyendo.

El valor máximo se alcanza cuando el coseno vale $\pm1$, es decir, cuando el punto pasa por su posición de equilibrio:

$\left|\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}\right|_{\max} = A\,\omega = 0{,}1\cdot2\,960\pi$

$\left|\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}\right|_{\max} = 9{,}30\cdot10^{2}\ \text{SI/s}$

En el instante considerado la magnitud varía a menos de un tercio de su ritmo máximo, lo que indica que el punto está bastante alejado de su posición de equilibrio.