Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2021

Algunos incrédulos poco informados creen que la llegada del Hombre a la Luna fue un engaño. Sin embargo, en alguno de los videos tomados allí se ve en segundo plano oscilar una hebilla colgando accidentalmente de una cuerda. Medimos el periodo de oscilación de dicho «péndulo» en varios momentos y obtenemos la siguiente tabla de tiempos de oscilación para 3 periodos completos cada uno. La cuerda mide $L = 0{,}9\ \text{m}$.

$t_1\ \text{(s)}$	$t_2\ \text{(s)}$	$t_3\ \text{(s)}$	$t_4\ \text{(s)}$ 14,4	14,5	14,3	14,6

a) Determine para cada caso el valor de la gravedad asociado.

b) ¿Qué tiempo debería haberse medido para esas 3 oscilaciones si el video hubiese sido filmado en la Tierra?

$\textbf{a) Determine para cada caso el valor de la gravedad asociado.}$










El periodo de un péndulo simple que oscila con pequeña amplitud es:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

de donde se despeja la gravedad del lugar:

$g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}$

Como cada tiempo medido corresponde a tres oscilaciones completas, el periodo es su tercera parte.





Se aplica lo anterior a las cuatro medidas, con $L = 0{,}9\ \text{m}$:

Medida	$t_3\ \text{(s)}$	$T = t_3/3\ \text{(s)}$	$g\ (\text{m/s}^2)$ 1	14,4	4,80	1,54 2	14,5	4,83	1,52 3	14,3	4,77	1,56 4	14,6	4,87	1,50

Los cuatro valores son muy parecidos entre sí, lo que indica que las medidas son consistentes. Como valor final se toma su media aritmética:

$\overline{g} = \dfrac{1{,}54 + 1{,}52 + 1{,}56 + 1{,}50}{4} = 1{,}53\ \text{m/s}^2$

El resultado coincide con la gravedad lunar conocida, $1{,}62\ \text{m/s}^2$, con una desviación de apenas un $6\ \%$, perfectamente atribuible a la imprecisión de cronometrar sobre un vídeo. Es un argumento sencillo y contundente: el balanceo de la hebilla es demasiado lento para haberse grabado en la Tierra.

$\textbf{b) ¿Qué tiempo debería haberse medido para esas 3 oscilaciones si el vídeo hubiese sido filmado en la Tierra?}$

Se calcula el periodo que tendría el mismo péndulo con la gravedad terrestre:

$T_T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g_T}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}9}{9{,}8}} = 1{,}90\ \text{s}$

Y el tiempo de tres oscilaciones completas:

$t_3 = 3\,T_T = 3\cdot1{,}90 = 5{,}71\ \text{s}$

En la Tierra las tres oscilaciones habrían durado $5{,}71\ \text{s}$, frente a los $14{,}5\ \text{s}$ que se miden en el vídeo: dos veces y media más rápido. Una diferencia así es imposible de simular acelerando o ralentizando una grabación sin que se note en todo lo demás que aparece en la escena.