Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2021

Tenemos en el espacio dos regiones. En la primera ($d = 50\ \text{cm}$) hay un campo eléctrico de intensidad $E = 50\ \text{V/m}$ dirigido según el eje $X$ negativo, y en la segunda (muy gruesa) un campo magnético de intensidad $B = 5\ \text{mT}$ dirigido según el eje $Z$ positivo. Lanzamos un protón con una velocidad de $100\ \text{km/s}$ como se indica en el esquema.

a) Razone qué trayectoria seguirá la partícula e indique en un dibujo el sentido de la fuerza que actúa sobre ella en distintos puntos de su trayectoria.

b) Calcule la aceleración que tendrá en la región de campo eléctrico y la velocidad con que entrará en la región del campo magnético.

c) Calcule el radio de la trayectoria circular en esta segunda región, deduciendo la fórmula necesaria para ello.

Datos: $m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$; $q_p = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Razone qué trayectoria seguirá la partícula e indique en un dibujo el sentido de la fuerza que actúa sobre ella en distintos puntos de su trayectoria.}$










En la primera región solo hay campo eléctrico. La fuerza sobre el protón es:

$\vec F_e = q\,\vec E$

Como la carga es positiva, la fuerza tiene el mismo sentido que el campo, es decir, el del eje $X$ negativo, opuesto a la velocidad del protón.





La fuerza es constante y antiparalela a la velocidad, de modo que en esta región el protón describe un movimiento rectilíneo uniformemente decelerado: sigue avanzando en línea recta, pero cada vez más despacio.

En la segunda región solo hay campo magnético, perpendicular a la velocidad. La fuerza de Lorentz:

$\vec F_B = q\,(\vec v\times\vec B)$

es perpendicular a la velocidad en todo instante, así que no realiza trabajo y el módulo de la velocidad no cambia; solo cambia su dirección. Una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a la velocidad es una fuerza centrípeta, de modo que el protón describe un movimiento circular uniforme. Como la fuerza apunta siempre hacia el centro de la circunferencia, en el esquema se ha dibujado en varios puntos de la trayectoria girando con ella.

$\textbf{b) Calcule la aceleración que tendrá en la región de campo eléctrico y la velocidad con que entrará en la región del campo magnético.}$

De la segunda ley de Newton aplicada a la primera región:

$a = \dfrac{F_e}{m_p} = \dfrac{q_p\,E}{m_p} = \dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot50}{1{,}67\cdot10^{-27}}$

$a = 4{,}79\cdot10^{9}\ \text{m/s}^2$

dirigida en el sentido negativo del eje $X$, es decir, frenando al protón.

Para la velocidad al final de la región se aplica la ecuación del movimiento uniformemente acelerado, con la velocidad inicial en unidades del Sistema Internacional:

$v_0 = 100\ \text{km/s} = 10^{5}\ \text{m/s}$

$v^2 = v_0^2 - 2\,a\,d = (10^{5})^2 - 2\cdot4{,}79\cdot10^{9}\cdot0{,}50$

$v^2 = 10^{10} - 4{,}79\cdot10^{9} = 5{,}21\cdot10^{9}$

$v = 7{,}22\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

El protón pierde algo más de una cuarta parte de su velocidad al atravesar la primera región.

$\textbf{c) Calcule el radio de la trayectoria circular en esta segunda región, deduciendo la fórmula necesaria para ello.}$

En la segunda región la fuerza magnética hace de centrípeta. Igualando ambas expresiones:

$q_p\,v\,B = \dfrac{m_p\,v^2}{r}$

Se simplifica una velocidad y se despeja el radio:

$r = \dfrac{m_p\,v}{q_p\,B}$

Se sustituyen los datos, con el campo en teslas:

$B = 5\ \text{mT} = 5\cdot10^{-3}\ \text{T}$

$r = \dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot7{,}22\cdot10^{4}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{-3}}$

$r = 0{,}151\ \text{m}$

El protón describe una circunferencia de unos $15\ \text{cm}$ de radio. Obsérvese que, si no hubiese pasado antes por el campo eléctrico, el radio habría sido $0{,}209\ \text{m}$: el radio es proporcional a la velocidad, y por eso este montaje sirve para seleccionar partículas por su velocidad.