Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Lanzamos desde el polo una nave con una velocidad de $2{,}5\ \text{km/s}$.

a) Determine la masa de la Tierra sabiendo que su radio es $6\,370\ \text{km}$ y que la aceleración de la gravedad en su superficie es $9{,}8\ \text{m/s}^2$.

b) Determine hasta qué altura máxima sube antes de caer de nuevo sobre la Tierra.

c) Calcule el valor de la aceleración de la gravedad en ese punto de máximo alejamiento a la Tierra.

Dato: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

$\textbf{a) Determine la masa de la Tierra sabiendo que su radio es } \boldsymbol{6\,370\ \text{km}}\textbf{ y que la aceleración de la gravedad en su superficie es } \boldsymbol{9{,}8\ \text{m/s}^2}\textbf{.}$










La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta viene dada por la ley de gravitación universal:

$g_0 = G\dfrac{M_T}{R_T^2}$

de donde se despeja directamente la masa:

$M_T = \dfrac{g_0\,R_T^2}{G}$





Se expresa el radio en unidades del Sistema Internacional y se sustituye:

$R_T = 6\,370\ \text{km} = 6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$

$M_T = \dfrac{9{,}8\cdot(6{,}37\cdot10^{6})^2}{6{,}67\cdot10^{-11}} = 5{,}96\cdot10^{24}\ \text{kg}$

$\textbf{b) Determine hasta qué altura máxima sube antes de caer de nuevo sobre la Tierra.}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que la energía mecánica se conserva entre el punto de lanzamiento y el de altura máxima, donde la velocidad es nula:

$\dfrac12\,m\,v_0^2 - G\dfrac{M_T\,m}{R_T} = 0 - G\dfrac{M_T\,m}{r_{\max}}$

Se simplifica la masa de la nave y se despeja:

$\dfrac{G\,M_T}{r_{\max}} = \dfrac{G\,M_T}{R_T} - \dfrac{v_0^2}{2}$

Se calculan los dos términos del segundo miembro, con la velocidad en unidades del Sistema Internacional:

$v_0 = 2{,}5\ \text{km/s} = 2\,500\ \text{m/s}$

$\dfrac{G\,M_T}{R_T} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}96\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^{6}} = 6{,}24\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$

$\dfrac{v_0^2}{2} = \dfrac{2\,500^2}{2} = 3{,}13\cdot10^{6}\ \text{J/kg}$

$r_{\max} = \dfrac{3{,}98\cdot10^{14}}{6{,}24\cdot10^{7} - 3{,}13\cdot10^{6}} = 6{,}71\cdot10^{6}\ \text{m}$

La altura sobre la superficie es esa distancia menos el radio terrestre:

$h = r_{\max} - R_T = 6{,}71\cdot10^{6} - 6{,}37\cdot10^{6} = 3{,}36\cdot10^{5}\ \text{m}$

$h = 336\ \text{km}$

Conviene notar que a esa altura no se puede usar la aproximación $h = v_0^2/(2g)$ del tiro vertical con gravedad constante, que daría $319\ \text{km}$: la gravedad ha disminuido apreciablemente durante el ascenso.

$\textbf{c) Calcule el valor de la aceleración de la gravedad en ese punto de máximo alejamiento a la Tierra.}$

Se aplica de nuevo la expresión del campo gravitatorio, ahora a la distancia $r_{\max}$ del centro:

$g = G\dfrac{M_T}{r_{\max}^2} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}96\cdot10^{24}}{(6{,}71\cdot10^{6})^2}$

$g = 8{,}84\ \text{m/s}^2$

La gravedad ha bajado de $9{,}8$ a $8{,}84\ \text{m/s}^2$, un $10\ \%$ menos, lo que confirma que no era razonable suponerla constante.