Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2021

Una fuente situada en el origen de coordenadas ($x_1 = 0$) genera ondas armónicas que se propagan con una velocidad de $10\ \text{m/s}$ en la dirección del eje $X$ positivo. Las ondas tienen amplitud $20\ \text{cm}$ y frecuencia $\nu = 5\ \text{Hz}$. El desfase inicial es nulo.

a) Determine la frecuencia angular y el número de ondas de la fuente.

b) Escriba la función de onda y el valor que tiene en el punto $x = 10\ \text{m}$ cuando $t = 0{,}975\ \text{s}$.

c) ¿En qué posición $(x_2)$ podríamos colocar una segunda fuente idéntica y en fase con la primera para que la interferencia de ambas en este punto $x = 10\ \text{m}$ fuese completamente destructiva? ¿Y totalmente constructiva? Justifique la respuesta.

Ayuda: $\text{sen}(a) + \text{sen}(b) = 2\,\text{sen}\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$.

$\textbf{a) Determine la frecuencia angular y el número de ondas de la fuente.}$

La frecuencia angular se obtiene de la frecuencia, y el número de ondas de la relación entre esta y la velocidad de propagación:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi\cdot5 = 10\pi = 31{,}4\ \text{rad/s}$

$v = \dfrac{\omega}{k}\;\Rightarrow\; k = \dfrac{\omega}{v} = \dfrac{10\pi}{10} = \pi = 3{,}14\ \text{rad/m}$

Conviene calcular también la longitud de onda, que hará falta en el último apartado:

$\lambda = \dfrac{v}{\nu} = \dfrac{10}{5} = 2\ \text{m}$

$\textbf{b) Escriba la función de onda y el valor que tiene en el punto } \boldsymbol{x = 10\ \text{m}}\textbf{ cuando } \boldsymbol{t = 0{,}975\ \text{s}}\textbf{.}$

La onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$ y el desfase inicial es nulo, de modo que:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx)$

$y(x,t) = 0{,}20\,\text{sen}(10\pi\,t - \pi\,x)\ \text{m}$

Se sustituyen la posición y el instante pedidos:

$y(10;\,0{,}975) = 0{,}20\,\text{sen}(10\pi\cdot0{,}975 - \pi\cdot10)$

$y = 0{,}20\,\text{sen}(9{,}75\pi - 10\pi) = 0{,}20\,\text{sen}\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$

$y = -0{,}141\ \text{m}$

$\textbf{c) ¿En qué posición } \boldsymbol{(x_2)}\textbf{ podríamos colocar una segunda fuente idéntica y en fase con la primera para que la interferencia de ambas en } \boldsymbol{x = 10\ \text{m}}\textbf{ fuese completamente destructiva? ¿Y totalmente constructiva?}$










Cuando dos ondas idénticas y en fase se superponen en un punto, lo que decide el tipo de interferencia es la diferencia entre los caminos que ha recorrido cada una hasta llegar allí:

$\Delta x = |x_2 - 10| - |0 - 10|$

Aplicando la ayuda del enunciado a las dos ondas, la amplitud resultante es proporcional a:

$2A\cos\left(\dfrac{k\,\Delta x}{2}\right)$





La interferencia es completamente destructiva cuando ese coseno se anula, es decir, cuando la diferencia de caminos es un número impar de semilongitudes de onda:

$\Delta x = (2n+1)\dfrac{\lambda}{2} = (2n+1)\cdot1\ \text{m},\qquad n = 0, 1, 2\ldots$

Las dos ondas llegan entonces en oposición de fase y se cancelan. La posición más sencilla es la que corresponde a $n = 0$, con la segunda fuente a $1\ \text{m}$ del punto:

$x_2 = 10 + 1 = 11\ \text{m}\qquad\text{o bien}\qquad x_2 = 10 - 1 = 9\ \text{m}$

La interferencia es totalmente constructiva cuando el coseno vale $\pm1$, es decir, cuando la diferencia de caminos es un número entero de longitudes de onda:

$\Delta x = n\,\lambda = 2n\ \text{m}$

Las dos ondas llegan en fase y sus amplitudes se suman. La posición más sencilla, con $n = 1$, es:

$x_2 = 10 + 2 = 12\ \text{m}\qquad\text{o bien}\qquad x_2 = 10 - 2 = 8\ \text{m}$

Obsérvese que lo que importa no es dónde esté la segunda fuente en términos absolutos, sino su distancia al punto de observación: cualquier posición que cumpla la condición sobre $\Delta x$ sirve igual.