Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2022

Un astronauta desea medir el valor de la aceleración de la gravedad en el exoplaneta en que ha aterrizado empleando un péndulo simple con una longitud de $150\ \text{cm}$. Para mejorar la precisión cronometra el tiempo que tarda el mismo en oscilar 5 veces, y repite la medida cuatro veces encontrando los siguientes valores:

Medida	1	2	3	4 $t\ \text{(s)}$	10,5	11,0	10,8	10,2

Determine un único valor de gravedad que pueda ofrecer como resultado de su experimento.

El periodo de un péndulo simple de longitud $L$ que oscila con pequeña amplitud es:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

de donde se despeja la gravedad del lugar:

$T^2 = 4\pi^2\dfrac{L}{g}\;\Rightarrow\; g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}$

El astronauta cronometra cinco oscilaciones en lugar de una porque así el error de reacción al accionar el cronómetro se reparte entre todas ellas y afecta cinco veces menos al periodo. Y repite la medida cuatro veces porque el valor que mejor representa un conjunto de medidas afectadas de errores accidentales es su media aritmética:

$\overline{t} = \dfrac{10{,}5 + 11{,}0 + 10{,}8 + 10{,}2}{4} = \dfrac{42{,}5}{4} = 10{,}625\ \text{s}$

El periodo es la quinta parte de ese tiempo:

$\overline{T} = \dfrac{10{,}625}{5} = 2{,}125\ \text{s}$

Se sustituye en la expresión de la gravedad, con la longitud en unidades del Sistema Internacional:

$L = 150\ \text{cm} = 1{,}50\ \text{m}$

$g = \dfrac{4\pi^2\cdot1{,}50}{2{,}125^2} = \dfrac{59{,}22}{4{,}516}$

$g = 13{,}1\ \text{m/s}^2$

El resultado que debe ofrecer el astronauta es $g = 13{,}1\ \text{m/s}^2$, un tercio mayor que la gravedad terrestre.

Merece la pena señalar que el promedio hay que hacerlo sobre los tiempos medidos, y no calcular una gravedad con cada medida y promediarlas después: la relación entre $g$ y $t$ no es lineal, de modo que las dos operaciones no dan lo mismo. Aquí la diferencia es pequeña porque las cuatro medidas son muy parecidas entre sí.