Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Deduzca razonadamente a qué altura de la superficie terrestre el valor de la gravedad se reduce a la cuarta parte del valor que tiene en la superficie, teniendo en cuenta que $R_T = 6\,370\ \text{km}$.

La intensidad del campo gravitatorio creado por la Tierra a una distancia $r$ de su centro es:

$g(r) = G\dfrac{M_T}{r^2}$

y sobre la propia superficie, donde $r = R_T$:

$g_0 = G\dfrac{M_T}{R_T^2}$





La condición del enunciado es que a la altura buscada la gravedad valga la cuarta parte:

$g(r) = \dfrac{g_0}{4}$

$G\dfrac{M_T}{r^2} = \dfrac{1}{4}\,G\dfrac{M_T}{R_T^2}$

Se simplifican la constante de gravitación y la masa de la Tierra, que aparecen en los dos miembros:

$\dfrac{1}{r^2} = \dfrac{1}{4\,R_T^2}\;\Rightarrow\; r^2 = 4\,R_T^2$

$r = 2\,R_T$

Como el campo va con el inverso del cuadrado de la distancia, para dividirlo entre cuatro basta con duplicar la distancia al centro de la Tierra.

La altura pedida se mide desde la superficie, no desde el centro:

$h = r - R_T = 2\,R_T - R_T = R_T$

$h = 6\,370\ \text{km} = 6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$

Hay que subir una altura igual al radio terrestre, unos $6\,370\ \text{km}$, para que la gravedad se reduzca a la cuarta parte. Es el error más frecuente en este tipo de problemas: confundir la distancia al centro con la altura sobre la superficie.