Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2022

El nivel de presión acústica que medimos con un sonómetro a $5\ \text{m}$ de un altavoz es de $80\ \text{dB}$. Determine la intensidad de la onda en esa localización y a qué distancia habrá que alejarse para que el nivel se reduzca a $75\ \text{dB}$.

Dato: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}$.

El nivel de intensidad sonora se define, a partir de la intensidad umbral del oído humano, como:

$\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}$

Se despeja la intensidad correspondiente a la lectura del sonómetro:

$80 = 10\log\dfrac{I}{10^{-12}}\;\Rightarrow\; \log\dfrac{I}{10^{-12}} = 8$

$\dfrac{I}{10^{-12}} = 10^{8}\;\Rightarrow\; I = 10^{-4}\ \text{W/m}^2$

Para la segunda parte se usa que el altavoz emite en todas direcciones, de modo que la potencia se reparte sobre frentes de onda esféricos y la intensidad decae con el cuadrado de la distancia:

$I = \dfrac{P}{4\pi r^2}\;\Rightarrow\; \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{r_2^2}{r_1^2}$

Se calcula primero la intensidad que corresponde a $75\ \text{dB}$:

$75 = 10\log\dfrac{I_2}{10^{-12}}\;\Rightarrow\; I_2 = 10^{-12}\cdot10^{7{,}5} = 3{,}16\cdot10^{-5}\ \text{W/m}^2$

Y se despeja la nueva distancia:

$r_2 = r_1\sqrt{\dfrac{I_1}{I_2}} = 5\sqrt{\dfrac{10^{-4}}{3{,}16\cdot10^{-5}}} = 5\sqrt{3{,}16}$

$r_2 = 8{,}89\ \text{m}$

La intensidad a $5\ \text{m}$ es $10^{-4}\ \text{W/m}^2$ y hay que alejarse hasta unos $8{,}9\ \text{m}$ para que el nivel baje a $75\ \text{dB}$. Conviene retener la regla que se deduce de aquí: bajar $6\ \text{dB}$ equivale a duplicar la distancia, así que bajar solo $5\ \text{dB}$ exige algo menos del doble.