Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2022

La edad de la Tierra es $4\,500$ millones de años. El periodo de semidesintegración del uranio-235 es 704 millones de años. ¿Qué porcentaje de uranio-235 natural hay en la actualidad en la Tierra respecto a la cantidad inicial?

La cantidad de núcleos radiactivos que quedan sin desintegrar decae exponencialmente con el tiempo:

$N = N_0\,e^{-\lambda t}$

Resulta más cómodo escribir esa ley en función del periodo de semidesintegración, que es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad:

$\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\;\Rightarrow\; N = N_0\,2^{-t/T_{1/2}}$

Escrita así se lee directamente lo que ocurre: cada vez que transcurre un periodo, la cantidad se reduce a la mitad.

Se sustituyen los datos del enunciado:

$\dfrac{t}{T_{1/2}} = \dfrac{4\,500}{704} = 6{,}39$

Han transcurrido algo más de seis periodos de semidesintegración desde la formación de la Tierra.

$\dfrac{N}{N_0} = 2^{-6{,}39} = e^{-6{,}39\ln 2} = e^{-4{,}43}$

$\dfrac{N}{N_0} = 1{,}19\cdot10^{-2}$

Expresado en tanto por ciento:

$\dfrac{N}{N_0} = 1{,}19\ \%$

Queda hoy alrededor del $1{,}2\ \%$ del uranio-235 que había cuando se formó la Tierra. Este cálculo explica un hecho conocido: el uranio natural contiene solo un $0{,}7\ \%$ de $^{235}\text{U}$ frente al $99{,}3\ \%$ de $^{238}\text{U}$, cuyo periodo de semidesintegración es unas seis veces mayor y que por tanto apenas se ha desintegrado.