Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2022

La expresión de una onda sonora unidimensional que se propaga por un líquido, en pascales, es la siguiente:

$P(x,t) = 0{,}3\,\text{sen}(\pi x/10 - 451\,t)$

donde $x$ está en metros y $t$ en segundos.

a) Determine la amplitud, la longitud de onda y el desfase inicial de la onda. Indique en qué sentido del eje $X$ se está propagando.

b) Determine la frecuencia de la onda y calcule la velocidad con que se propaga.

c) Calcule la diferencia de fase (en grados) y la diferencia en el valor de presión que se sentirá en $t = 0$ entre los puntos $x = 2\ \text{m}$ y $x = 5\ \text{m}$.

$\textbf{a) Determine la amplitud, la longitud de onda y el desfase inicial de la onda. Indique en qué sentido del eje } \boldsymbol{X}\textbf{ se está propagando.}$

Comparando la función del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$P(x,t) = P_0\,\text{sen}(kx - \omega t + \varphi_0)$

se identifican directamente:

$P_0 = 0{,}3\ \text{Pa}\qquad k = \dfrac{\pi}{10}\ \text{rad/m}\qquad \omega = 451\ \text{rad/s}\qquad \varphi_0 = 0\ \text{rad}$

La longitud de onda se obtiene del número de ondas:

$\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{\pi/10} = 20\ \text{m}$

En cuanto al sentido de propagación, los términos espacial y temporal llevan signos opuestos, de modo que la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$. Se comprueba imponiendo que la fase se mantenga constante: si $kx - \omega t$ no cambia, al aumentar $t$ debe aumentar $x$.

$\textbf{b) Determine la frecuencia de la onda y calcule la velocidad con que se propaga.}$

La frecuencia se deduce de la frecuencia angular:

$f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{451}{2\pi} = 71{,}8\ \text{Hz}$

Y la velocidad de propagación, del cociente entre la frecuencia angular y el número de ondas:

$v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{451}{\pi/10} = 1{,}44\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

El valor es coherente con el enunciado: unos $1\,440\ \text{m/s}$ es la velocidad típica del sonido en un líquido, unas cuatro veces mayor que en el aire.

$\textbf{c) Calcule la diferencia de fase (en grados) y la diferencia en el valor de presión que se sentirá en } \boldsymbol{t = 0}\textbf{ entre los puntos } \boldsymbol{x = 2\ \text{m}}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 5\ \text{m}}\textbf{.}$

Para un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos solo depende del término espacial:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x = \dfrac{\pi}{10}\,(5 - 2) = 0{,}3\pi = 0{,}942\ \text{rad}$

Y expresada en grados:

$\Delta\varphi = 0{,}3\pi\ \text{rad}\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi\ \text{rad}} = 54^\circ$

Para la diferencia de presión se evalúa la función en cada punto con $t = 0$:

$P(2,0) = 0{,}3\,\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{10}\cdot2\right) = 0{,}3\,\text{sen}(0{,}2\pi) = 0{,}3\cdot0{,}588 = 0{,}176\ \text{Pa}$

$P(5,0) = 0{,}3\,\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{10}\cdot5\right) = 0{,}3\,\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0{,}3\ \text{Pa}$

$\Delta P = 0{,}3 - 0{,}176 = 0{,}124\ \text{Pa}$

El punto $x = 5\ \text{m}$ está justo en un máximo de presión —a un cuarto de longitud de onda del origen—, mientras que el de $x = 2\ \text{m}$ va algo por detrás.