Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2022

Una partícula $\alpha$ entra en una región del espacio comprendida entre dos placas paralelas que crean un campo eléctrico $E = 5 \cdot 10^{5}\ \text{N/C}$ como se ve en el esquema. Queremos que las partículas que lleven una velocidad de $v_0 = 10^{6}\ \text{m/s}$ paralela a dichas placas atraviesen la región sin desviarse. Para ello hay que añadir en esa región un campo magnético $B_1$.

a) Razone qué dirección y sentido tiene que llevar ese campo magnético $B_1$ para que sea posible lo que queremos, y explique cualitativamente qué trayectoria seguiría una partícula que entrase a una velocidad mayor de la mencionada $v_0$ (se valorará la inclusión de un esquema aclaratorio).

b) Realice un balance de fuerzas en la región y deduzca el módulo del campo magnético requerido en este caso. Razone cómo afectaría al resultado que entrase un electrón en lugar de una partícula $\alpha$.

c) Si a la salida de la región existe sólo un campo magnético $B_2 = 1{,}5\ \text{T}$ con el sentido indicado en el esquema, dibuje qué trayectoria seguirá la partícula $\alpha$ y deduzca la expresión que le permita determinar a qué distancia del punto de entrada chocará contra la pantalla que separa ambas regiones.

Datos: $q_\alpha = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$; $m_\alpha = 6{,}64 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Razone qué dirección y sentido tiene que llevar ese campo magnético } \boldsymbol{B_1}\textbf{, y explique cualitativamente qué trayectoria seguiría una partícula que entrase a una velocidad mayor.}$










La partícula $\alpha$ es un núcleo de helio y tiene carga positiva. El campo eléctrico apunta hacia la izquierda, de modo que la fuerza eléctrica sobre ella también:

$\vec F_E = q\,\vec E$

Para que la partícula no se desvíe, la fuerza magnética tiene que ser igual y de sentido contrario, es decir, dirigida hacia la derecha.





La velocidad de entrada apunta hacia abajo. Aplicando la regla de la mano derecha al producto vectorial $\vec v\times\vec B_1$, la única orientación del campo que da una fuerza hacia la derecha sobre una carga positiva es la perpendicular al papel y entrante:

$\vec B_1$ debe ser perpendicular al plano del esquema y dirigido hacia dentro.

Si una partícula entrase con una velocidad mayor que $v_0$, la fuerza eléctrica no cambiaría —no depende de la velocidad—, pero la magnética sí aumentaría, porque es proporcional a $v$. El equilibrio se rompería a favor de la fuerza magnética y la partícula se desviaría hacia la derecha, describiendo una trayectoria curvada hacia ese lado. Al revés ocurriría con una partícula más lenta, que se desviaría hacia la izquierda. En eso consiste el selector de velocidades: solo atraviesan la región sin desviarse las partículas con la velocidad justa.

$\textbf{b) Realice un balance de fuerzas en la región y deduzca el módulo del campo magnético requerido en este caso. Razone cómo afectaría al resultado que entrase un electrón en lugar de una partícula } \boldsymbol{\alpha}\textbf{.}$

Para que la trayectoria sea rectilínea y uniforme, la fuerza total debe anularse:

$\vec F_{\text{total}} = q\,\vec E + q\,(\vec v\times\vec B_1) = \vec 0$

Como la velocidad y el campo magnético son perpendiculares entre sí, el módulo del producto vectorial es simplemente $v\,B_1$:

$q\,E = q\,v_0\,B_1\;\Rightarrow\; B_1 = \dfrac{E}{v_0}$

$B_1 = \dfrac{5\cdot10^{5}}{10^{6}} = 0{,}5\ \text{T}$

Obsérvese que la carga se simplifica: el resultado no depende ni del valor ni del signo de la carga, solo de su velocidad. Por eso, si entrase un electrón con la misma velocidad, tampoco se desviaría. Sus dos fuerzas cambiarían de sentido a la vez —al ser la carga negativa— y seguirían compensándose exactamente. El campo magnético necesario sería el mismo, $0{,}5\ \text{T}$.

$\textbf{c) Dibuje qué trayectoria seguirá la partícula } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ y deduzca la expresión que le permita determinar a qué distancia del punto de entrada chocará contra la pantalla.}$

En la segunda región solo actúa el campo magnético $B_2$, perpendicular a la velocidad. La fuerza de Lorentz es entonces perpendicular a la velocidad en todo instante, de modo que no realiza trabajo, el módulo de la velocidad no cambia y la partícula describe un movimiento circular uniforme.

Igualando la fuerza magnética a la centrípeta:

$q\,v\,B_2 = \dfrac{m\,v^2}{r}\;\Rightarrow\; r = \dfrac{m\,v}{q\,B_2}$

$r = \dfrac{6{,}64\cdot10^{-27}\cdot10^{6}}{3{,}2\cdot10^{-19}\cdot1{,}5} = 1{,}38\cdot10^{-2}\ \text{m}$

La partícula entra perpendicularmente a la pantalla que separa las dos regiones, así que el centro de la circunferencia está sobre esa misma pantalla, a una distancia $r$ del punto de entrada. Tras describir media circunferencia, la partícula vuelve a la pantalla en el punto diametralmente opuesto:

$d = 2\,r = \dfrac{2\,m\,v}{q\,B_2}$

$d = 2\cdot1{,}38\cdot10^{-2} = 2{,}77\cdot10^{-2}\ \text{m} = 2{,}77\ \text{cm}$

Chocará contra la pantalla a unos $2{,}8\ \text{cm}$ del punto por el que entró.