Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

Los centros de dos esferas metálicas de radios $R_1 = 2{,}5\ \text{cm}$ y $R_2 = 4\ \text{cm}$ están separados una distancia $d = 0{,}2\ \text{m}$. La primera tiene una carga de $3 \cdot 10^{-6}\ \text{C}$ y la segunda de $-6 \cdot 10^{-6}\ \text{C}$.

a) Determine el potencial eléctrico de cada una y la fuerza con que interaccionan, aclarando si es atractiva o repulsiva.

A continuación realizamos una conexión eléctrica entre ellas haciendo que se toquen, y llevándolas de nuevo tras el contacto a sus posiciones originales.

b) Explique qué ocurre cuando se tocan y determine el potencial final de cada una.

c) Determine la carga final de cada una.

Dato: $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$.

$\textbf{a) Determine el potencial eléctrico de cada una y la fuerza con que interaccionan, aclarando si es atractiva o repulsiva.}$

El potencial de una esfera conductora cargada coincide con el que crearía una carga puntual del mismo valor situada en su centro:

$V = K\dfrac{Q}{R}$

$V_1 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{3\cdot10^{-6}}{0{,}025} = 1{,}08\cdot10^{6}\ \text{V}$

$V_2 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-6\cdot10^{-6}}{0{,}040} = -1{,}35\cdot10^{6}\ \text{V}$

Como la distancia entre los centros, $0{,}2\ \text{m}$, es mucho mayor que los radios de las esferas, estas se comportan como cargas puntuales y se aplica la ley de Coulomb:

$F = K\dfrac{|Q_1|\,|Q_2|}{d^2} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{3\cdot10^{-6}\cdot6\cdot10^{-6}}{0{,}2^2}$

$F = 4{,}05\ \text{N}$

Las cargas son de signo contrario, de modo que la fuerza es atractiva y está dirigida a lo largo de la recta que une los centros de las dos esferas.

$\textbf{b) Explique qué ocurre cuando se tocan y determine el potencial final de cada una.}$










Al tocarse, las dos esferas forman un único conductor. En el equilibrio electrostático no puede haber diferencia de potencial dentro de un conductor —si la hubiera, seguiría circulando carga—, de modo que la carga se redistribuye hasta que ambas quedan al mismo potencial:

$K\dfrac{Q_1'}{R_1} = K\dfrac{Q_2'}{R_2}$

Además, la carga total se conserva.





Físicamente, la carga negativa en exceso de la segunda esfera fluye hacia la primera, neutralizando su carga positiva, hasta que se igualan los potenciales. La carga total del conjunto es:

$Q_{\text{total}} = 3\cdot10^{-6} - 6\cdot10^{-6} = -3\cdot10^{-6}\ \text{C}$

Como el reparto es proporcional a los radios:

$Q_1' = Q_{\text{total}}\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\qquad Q_2' = Q_{\text{total}}\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$

El potencial final, el mismo para las dos, puede calcularse directamente:

$V = K\dfrac{Q_1'}{R_1} = K\dfrac{Q_{\text{total}}}{R_1+R_2} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-3\cdot10^{-6}}{0{,}065}$

$V = -4{,}15\cdot10^{5}\ \text{V}$

Las dos esferas quedan a $-4{,}15\cdot10^{5}\ \text{V}$, un valor intermedio entre los $+1{,}08\cdot10^{6}\ \text{V}$ y los $-1{,}35\cdot10^{6}\ \text{V}$ iniciales.

$\textbf{c) Determine la carga final de cada una.}$

Se sustituye en las expresiones anteriores:

$Q_1' = -3\cdot10^{-6}\cdot\dfrac{0{,}025}{0{,}065} = -1{,}15\cdot10^{-6}\ \text{C}$

$Q_2' = -3\cdot10^{-6}\cdot\dfrac{0{,}040}{0{,}065} = -1{,}85\cdot10^{-6}\ \text{C}$

Se comprueba que la suma es la carga total inicial:

$Q_1' + Q_2' = -1{,}15\cdot10^{-6} - 1{,}85\cdot10^{-6} = -3{,}00\cdot10^{-6}\ \text{C}$

Ambas esferas terminan cargadas negativamente, y la mayor se queda con la mayor parte de la carga: en el reparto entre conductores unidos, la carga va donde hay más superficie.