Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Dos satélites de igual masa, $A$ y $B$, describen órbitas circulares de diferentes radios alrededor de la Tierra: $r_A > r_B$. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál de los dos tiene mayor energía cinética?

b) Si los dos satélites estuvieran en la misma órbita $r_A = r_B$ y tuviesen distinta masa $m_A < m_B$, ¿cuál de los dos tendría más energía cinética?

$\textbf{a) ¿Cuál de los dos tiene mayor energía cinética?}$










Para un satélite en órbita circular, la atracción gravitatoria es la fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2} = m\,\dfrac{v^2}{r}\;\Rightarrow\; m\,v^2 = G\dfrac{M_T\,m}{r}$

De donde la energía cinética resulta ser:

$E_c = \dfrac12\,m\,v^2 = \dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}$





La energía cinética es inversamente proporcional al radio de la órbita. Como los dos satélites tienen la misma masa y $r_A > r_B$:

$E_c(B) > E_c(A)$

Tiene mayor energía cinética el satélite $B$, el de la órbita más baja. Puede parecer contradictorio con el hecho de que sea el satélite $A$ el que tiene mayor energía mecánica —también proporcional a $-1/r$, pero con signo negativo—, y no lo es: cuanto más se aleja un satélite, más despacio se mueve, aunque su energía total sea mayor. Lo que ha ganado es energía potencial, y más de lo que ha perdido de cinética.

$\textbf{b) Si los dos satélites estuvieran en la misma órbita } \boldsymbol{r_A = r_B}\textbf{ y tuviesen distinta masa } \boldsymbol{m_A < m_B}\textbf{, ¿cuál de los dos tendría más energía cinética?}$

Con el mismo radio, la velocidad orbital es idéntica para los dos:

$v = \sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$

expresión en la que no aparece la masa del satélite. En cambio, la energía cinética sí es proporcional a ella:

$E_c = \dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}$

Por tanto, como $m_A < m_B$:

$E_c(A) < E_c(B)$

Tendría más energía cinética el satélite $B$, el más masivo. Los dos recorren la misma órbita a la misma velocidad, pero mover más masa a esa velocidad exige más energía.