Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2022

Calcule, para el instante $t = T/4$, la elongación de un punto cuya distancia a un foco emisor de ondas es $x = \lambda/4$, sabiendo que la amplitud de la vibración es $2\ \text{cm}$ y que la onda se desplaza de izquierda a derecha. ¿Y si viaja en sentido contrario?

Para una onda armónica que se desplaza de izquierda a derecha, es decir, en el sentido positivo del eje $X$, la función de onda es:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx)$

Conviene escribir el argumento en función del periodo y de la longitud de onda, que es como vienen dados los datos:

$y(x,t) = A\,\text{sen}\left(\dfrac{2\pi}{T}\,t - \dfrac{2\pi}{\lambda}\,x\right)$





Se sustituyen el instante y la posición pedidos:

$\dfrac{2\pi}{T}\cdot\dfrac{T}{4} = \dfrac{\pi}{2}\qquad \dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{\pi}{2}$

$y = A\,\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right) = A\,\text{sen}(0)$

$y = 0\ \text{m}$

La elongación es nula. El resultado tiene una lectura física sencilla: en un tiempo $T/4$ la perturbación ha recorrido exactamente $\lambda/4$, de modo que acaba de alcanzar al punto considerado. Este empieza a moverse justo en ese instante, y lo hace partiendo de su posición de equilibrio.

Si la onda viaja en sentido contrario, los dos términos del argumento llevan el mismo signo:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + kx)$

$y = A\,\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right) = A\,\text{sen}(\pi)$

$y = 0\ \text{m}$

De nuevo la elongación es nula, aunque por un motivo distinto: ahora el punto no está empezando a moverse, sino que ha completado media oscilación y pasa por el equilibrio bajando. Los dos casos coinciden en el valor de la elongación pero difieren en la velocidad de oscilación, que en el primer caso es positiva y en el segundo, negativa:

$v_y = A\,\omega\cos(0) = +A\,\omega\qquad\text{frente a}\qquad v_y = A\,\omega\cos(\pi) = -A\,\omega$

con $A = 2\ \text{cm} = 0{,}02\ \text{m}$.