Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2022

¿Cuál es la longitud de onda asociada de un electrón cuya velocidad es la mitad de la velocidad de la luz? ¿Y la de una pelota de tenis de $50\ \text{g}$ que se mueve a una velocidad de $400\ \text{m/s}$? Teniendo en cuenta que el tamaño de un núcleo atómico es del orden de $10^{-15}\ \text{m}$, ¿qué conclusión saca de los valores calculados para las longitudes de onda?

Datos: $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

Según la hipótesis de De Broglie, toda partícula en movimiento lleva asociada una onda cuya longitud de onda es:

$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m\,v}$

Para el electrón, que se mueve a la mitad de la velocidad de la luz:

$v = \dfrac{c}{2} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{2} = 1{,}5\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

$\lambda_e = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot1{,}5\cdot10^{8}}$

$\lambda_e = 4{,}85\cdot10^{-12}\ \text{m}$

Para la pelota de tenis, con la masa en unidades del Sistema Internacional:

$m = 50\ \text{g} = 5\cdot10^{-2}\ \text{kg}$

$\lambda_p = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{5\cdot10^{-2}\cdot400} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{20}$

$\lambda_p = 3{,}32\cdot10^{-35}\ \text{m}$

La conclusión es que el carácter ondulatorio de la materia solo se manifiesta a escala atómica.

La longitud de onda del electrón, $4{,}85\cdot10^{-12}\ \text{m}$, es unas mil veces mayor que el tamaño de un núcleo atómico y del orden de la centésima parte de un átomo: es perfectamente comparable a las distancias del mundo microscópico, y por eso los electrones se difractan al atravesar un cristal, lo que se aprovecha en el microscopio electrónico.

La de la pelota, en cambio, es $3{,}32\cdot10^{-35}\ \text{m}$, veinte órdenes de magnitud menor que un núcleo atómico. No existe ningún obstáculo en el universo tan pequeño como para difractarla, de modo que su comportamiento ondulatorio es completamente inobservable y la pelota se describe perfectamente con la mecánica clásica.

La diferencia está en la masa: la constante de Planck es tan pequeña que, para que $\lambda$ tenga un valor apreciable, hace falta un momento lineal del orden de $10^{-22}\ \text{kg m/s}$, algo que solo alcanzan las partículas subatómicas.