Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla-La Mancha · 2022

A una distancia de $15\ \text{cm}$ a la derecha de una lente convergente de $5\ \text{cm}$ de focal se registra una imagen óptica de $3\ \text{cm}$ de alto en posición invertida.

a) Realice un trazado de rayos para localizar la posición y el tamaño del objeto que produce dicha imagen, explicando las reglas de trazado para los rayos que use.

b) Determine numéricamente el tamaño y la posición del objeto, así como el aumento lateral de este sistema óptico.

c) ¿Qué características de la imagen cambian si el objeto se sitúa a $3{,}5\ \text{cm}$ a la izquierda de la lente? Realice un trazado de rayos para ilustrarlo y determine la posición de la imagen y el aumento lateral para este caso, indicando razonadamente si la imagen es real o virtual.

$\textbf{a) Realice un trazado de rayos para localizar la posición y el tamaño del objeto que produce dicha imagen, explicando las reglas de trazado para los rayos que use.}$










Los tres rayos principales de una lente delgada se trazan así:

i) El rayo que llega paralelo al eje óptico emerge pasando por el foco imagen $F'$.

ii) El rayo que pasa por el foco objeto $F$ emerge paralelo al eje óptico.

iii) El rayo que pasa por el centro óptico atraviesa la lente sin desviarse.





Aquí el dato conocido es la imagen, no el objeto, así que se trazan los rayos hacia atrás: desde el extremo de la imagen, un rayo paralelo al eje que al llegar a la lente pase por $F$, y otro que pase por el centro óptico. Donde se cortan del otro lado está el objeto.

Del trazado se lee que el objeto está más cerca de la lente que la imagen, entre el foco objeto y el doble de la focal, y que es menor que ella, además de tener la orientación contraria: la imagen es invertida.

$\textbf{b) Determine numéricamente el tamaño y la posición del objeto, así como el aumento lateral de este sistema óptico.}$

Se usa el criterio de signos habitual: la luz viaja de izquierda a derecha y las distancias se miden desde la lente, positivas hacia la derecha. Los datos son:

$f' = 5\ \text{cm}\qquad s' = 15\ \text{cm}\qquad y' = -3\ \text{cm}$

La altura de la imagen es negativa porque el enunciado dice que está invertida.

De la ecuación de las lentes delgadas se despeja la posición del objeto:

$\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}\;\Rightarrow\; \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{f'}$

$\dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{5} = 0{,}0667 - 0{,}200 = -0{,}133\ \text{cm}^{-1}$

$s = -7{,}5\ \text{cm}$

El objeto está $7{,}5\ \text{cm}$ a la izquierda de la lente, entre el foco objeto y el doble de la focal, como anticipaba el trazado.

El aumento lateral es:

$\beta = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{15}{-7{,}5} = -2$

El signo negativo confirma que la imagen es invertida, y el valor absoluto, que es el doble de grande que el objeto. De ahí se obtiene el tamaño del objeto:

$y = \dfrac{y'}{\beta} = \dfrac{-3}{-2} = 1{,}5\ \text{cm}$

$\textbf{c) ¿Qué características de la imagen cambian si el objeto se sitúa a } \boldsymbol{3{,}5\ \text{cm}}\textbf{ a la izquierda de la lente?}$










Ahora el objeto está a $3{,}5\ \text{cm}$, es decir, más cerca de la lente que el foco, que está a $5\ \text{cm}$. Se aplica de nuevo la ecuación de las lentes:

$\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{-3{,}5}$

$\dfrac{1}{s'} = 0{,}200 - 0{,}286 = -0{,}0857\ \text{cm}^{-1}$





$s' = -11{,}7\ \text{cm}$

$\beta = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{-11{,}7}{-3{,}5} = 3{,}33$

$y' = \beta\,y = 3{,}33\cdot1{,}5 = 5{,}0\ \text{cm}$

Cambian las tres características principales de la imagen:

i) Es virtual, no real. Como $s' < 0$, se forma en el mismo lado que el objeto, por corte de las prolongaciones de los rayos emergentes y no por corte efectivo. No podría recogerse sobre una pantalla.

ii) Es derecha, no invertida, porque el aumento lateral es ahora positivo.

iii) Es mayor que antes: el aumento pasa de $|{-2}|$ a $3{,}33$.

La causa de todos estos cambios es la misma: el objeto ha pasado de estar fuera de la distancia focal a estar dentro de ella. Una lente convergente con el objeto entre el foco y la lente funciona como una lupa.