Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2022

Una bobina circular de radio $15\ \text{cm}$ y 50 espiras se coloca de manera que su eje forma un ángulo de $30^\circ$ con un campo magnético uniforme cuyo valor varía en el tiempo según $B(t) = 4 - (t-2)^{2}\ \text{T}$. La resistencia total de la bobina es $5\ \Omega$.

a) Calcule el valor del flujo magnético en $t = 2\ \text{s}$.

b) Determine el valor de la corriente inducida en la bobina en función del tiempo.

c) Calcule el valor de la corriente inducida en $t = 1\ \text{s}$ y en $t = 3\ \text{s}$, y razone si el sentido en cada caso será el indicado en el esquema como «A» (horario visto desde arriba) o el «B» (antihorario visto desde arriba). Explique por qué no son iguales si el valor del campo es en ambos momentos igual ($3\ \text{T}$).

$\textbf{a) Calcule el valor del flujo magnético en } \boldsymbol{t = 2\ \text{s}}\textbf{.}$

El flujo magnético a través de una espira plana es:

$\Phi = \vec B\cdot\vec S = B\,S\cos\alpha$

donde $\alpha$ es el ángulo entre el campo y el vector superficie, que aquí coincide con el eje de la bobina y vale $30^\circ$.

La superficie de cada espira es:

$S = \pi r^2 = \pi\cdot0{,}15^2 = 7{,}07\cdot10^{-2}\ \text{m}^2$

En el instante pedido el campo vale:

$B(2) = 4 - (2-2)^2 = 4\ \text{T}$

que es además su valor máximo. El flujo a través de una espira es:

$\Phi = 4\cdot7{,}07\cdot10^{-2}\cdot\cos 30^\circ = 0{,}245\ \text{Wb}$

Y el flujo total concatenado por las $50$ espiras de la bobina:

$\Phi_{\text{total}} = N\,\Phi = 50\cdot0{,}245 = 12{,}2\ \text{Wb}$

$\textbf{b) Determine el valor de la corriente inducida en la bobina en función del tiempo.}$

Por la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida en una bobina de $N$ espiras es:

$\varepsilon = -N\dfrac{d\Phi}{dt} = -N\,S\cos\alpha\,\dfrac{dB}{dt}$

Se deriva el campo respecto del tiempo:

$\dfrac{dB}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left[4 - (t-2)^2\right] = -2\,(t-2)$

$\varepsilon = -50\cdot7{,}07\cdot10^{-2}\cdot\cos 30^\circ\cdot\left[-2\,(t-2)\right]$

$\varepsilon = 6{,}12\,(t-2)\ \text{V}$

Y aplicando la ley de Ohm al circuito de la bobina:

$I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{6{,}12\,(t-2)}{5}$

$I(t) = 1{,}22\,(t-2)\ \text{A}$

$\textbf{c) Calcule el valor de la corriente inducida en } \boldsymbol{t = 1\ \text{s}}\textbf{ y en } \boldsymbol{t = 3\ \text{s}}\textbf{, y razone el sentido en cada caso.}$










Se sustituye en la expresión anterior:

$I(1) = 1{,}22\,(1-2) = -1{,}22\ \text{A}$

$I(3) = 1{,}22\,(3-2) = +1{,}22\ \text{A}$

Los dos tienen el mismo módulo, $1{,}22\ \text{A}$, pero signos opuestos: la corriente circula en sentidos contrarios en uno y otro instante.





La razón está en la ley de Lenz, y la clave es que lo que determina el sentido de la corriente no es el valor del campo, sino cómo está cambiando.

En $t = 1\ \text{s}$ el campo vale $3\ \text{T}$ y está creciendo, porque la parábola aún no ha llegado a su máximo:

$\dfrac{dB}{dt}\bigg|_{t=1} = -2\,(1-2) = +2\ \text{T/s} > 0$

El flujo aumenta, así que la corriente inducida crea un campo que se opone al externo. Vista desde arriba, circula en el sentido antihorario, el «B» del esquema.

En $t = 3\ \text{s}$ el campo vale otra vez $3\ \text{T}$, pero ahora está disminuyendo:

$\dfrac{dB}{dt}\bigg|_{t=3} = -2\,(3-2) = -2\ \text{T/s} < 0$

El flujo disminuye, y la corriente inducida crea un campo que refuerza al externo para tratar de mantenerlo. Vista desde arriba, circula en el sentido horario, el «A» del esquema.

Es decir, aunque el valor del campo es idéntico en ambos instantes, en el primero la bobina se opone a que crezca y en el segundo se opone a que decrezca, y por eso las corrientes tienen sentidos opuestos. Lo que aparece en la ley de Faraday es la derivada del flujo, no el flujo.