Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

Tres cargas están situadas en los vértices de un triángulo rectángulo como indica la figura.

a) Determine la energía potencial electrostática de la carga $q_3$.

b) Calcule la fuerza que siente la carga $q_2$ y su módulo $|\vec{F}|$.

c) ¿Cuánto trabajo costaría llevar la carga $q_3$ desde su ubicación inicial $(A)$ a la ubicación alternativa $(B)$? Indique si sería necesaria una fuerza externa para ello.

Datos: $q_1 = 2\ \text{mC}$; $q_2 = -1\ \text{mC}$; $q_3 = -5\ \text{mC}$; $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$.

$\textbf{a) Determine la energía potencial electrostática de la carga } \boldsymbol{q_3}\textbf{.}$










La energía potencial de una carga en un punto es el producto de su carga por el potencial que crean allí las demás:

$E_p = q_3\left(K\dfrac{q_1}{r_{13}} + K\dfrac{q_2}{r_{23}}\right)$

De la figura, $q_3$ está en el vértice $A$, a $6\ \text{cm}$ de $q_2$ sobre la horizontal, y $q_1$ queda $2\ \text{cm}$ por encima de $q_2$.





Las distancias son, por tanto:

$r_{23} = 6\ \text{cm} = 0{,}06\ \text{m}$

$r_{13} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = 6{,}32\ \text{cm} = 0{,}0632\ \text{m}$

Se sustituyen los valores, con las cargas en culombios:

$E_p = -5\cdot10^{-3}\cdot9\cdot10^{9}\left(\dfrac{2\cdot10^{-3}}{0{,}0632} + \dfrac{-1\cdot10^{-3}}{0{,}06}\right)$

$E_p = -4{,}5\cdot10^{7}\,(3{,}16\cdot10^{-2} - 1{,}67\cdot10^{-2})$

$E_p = -6{,}73\cdot10^{5}\ \text{J}$

La energía potencial es negativa: domina la atracción de $q_1$, de signo contrario a $q_3$, sobre la repulsión de $q_2$.

$\textbf{b) Calcule la fuerza que siente la carga } \boldsymbol{q_2}\textbf{ y su módulo } \boldsymbol{|\vec F|}\textbf{.}$

Sobre $q_2$ actúan dos fuerzas, una por cada una de las otras cargas, dadas por la ley de Coulomb:

$F = K\dfrac{|q\,q'|}{r^2}$

Fuerza que ejerce $q_1$. Está $2\ \text{cm}$ por encima y las cargas son de signo contrario, así que la fuerza es atractiva y apunta hacia arriba:

$F_{21} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-3}\cdot1\cdot10^{-3}}{0{,}02^2} = 4{,}50\cdot10^{7}\ \text{N}$

Fuerza que ejerce $q_3$. Está $6\ \text{cm}$ a la derecha y ambas cargas son negativas, de modo que la fuerza es repulsiva y apunta hacia la izquierda:

$F_{23} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{1\cdot10^{-3}\cdot5\cdot10^{-3}}{0{,}06^2} = 1{,}25\cdot10^{7}\ \text{N}$

Las dos son perpendiculares entre sí, así que la resultante es:

$\vec F = -1{,}25\cdot10^{7}\,\vec{\imath} + 4{,}50\cdot10^{7}\,\vec{\jmath}\ \text{N}$

$|\vec F| = \sqrt{(1{,}25\cdot10^{7})^2 + (4{,}50\cdot10^{7})^2} = 4{,}67\cdot10^{7}\ \text{N}$

$\textbf{c) ¿Cuánto trabajo costaría llevar la carga } \boldsymbol{q_3}\textbf{ desde su ubicación inicial } \boldsymbol{(A)}\textbf{ a la ubicación alternativa } \boldsymbol{(B)}\textbf{? Indique si sería necesaria una fuerza externa para ello.}$

El punto $B$ es el cuarto vértice del rectángulo, de modo que las distancias se intercambian respecto de las de $A$: ahora $q_1$ está a $6\ \text{cm}$ y $q_2$ a $6{,}32\ \text{cm}$.

Se calculan los potenciales en ambos puntos:

$V_A = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{2\cdot10^{-3}}{0{,}0632} + \dfrac{-1\cdot10^{-3}}{0{,}06}\right) = 1{,}35\cdot10^{8}\ \text{V}$

$V_B = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{2\cdot10^{-3}}{0{,}06} + \dfrac{-1\cdot10^{-3}}{0{,}0632}\right) = 1{,}58\cdot10^{8}\ \text{V}$

Y el trabajo que realiza el campo eléctrico al llevar la carga de $A$ a $B$:

$W = q_3\,(V_A - V_B) = -5\cdot10^{-3}\,(1{,}35\cdot10^{8} - 1{,}58\cdot10^{8})$

$W = 1{,}15\cdot10^{5}\ \text{J}$

El trabajo del campo es positivo, lo que significa que el desplazamiento es espontáneo: el propio campo empuja a la carga de $A$ hacia $B$. No hace falta ninguna fuerza externa; al contrario, habría que frenar la carga para que no llegara acelerada.

El resultado es coherente con lo que se ve en la figura: al pasar de $A$ a $B$, la carga negativa se acerca a la positiva $q_1$, que la atrae, y se aleja de la negativa $q_2$, que la repele.