Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla-La Mancha · 2023

Procedente de un foco dentro de una piscina con agua ($n = 1{,}33$), llegan a la superficie agua-aire varios rayos con distinta inclinación. Se ha rellenado una tabla, pero sospechamos que algunos valores de ángulo refractado pueden ser incorrectos, y hay otros que faltan por rellenar. Copie la tabla en su cuadernillo, corrija los valores incorrectos y complete los que faltan explicando cómo lo ha hecho.

Rayo	1	2	3	4	5	6 $\theta_{\text{incidente}}\ \text{(grados)}$	36	40	45	46	52	60 $\theta_{\text{refractado}}\ \text{(grados)}$	51,4		19,8	No hay haz	120

Los rayos van del agua al aire, es decir, de un medio más denso ópticamente a otro menos denso. La ley de Snell da el ángulo refractado:

$n_{\text{agua}}\,\text{sen}\,\theta_i = n_{\text{aire}}\,\text{sen}\,\theta_r$

$\text{sen}\,\theta_r = 1{,}33\,\text{sen}\,\theta_i$

Como el seno no puede superar la unidad, existe un ángulo límite por encima del cual no hay rayo refractado.





$1{,}33\,\text{sen}\,\theta_L = 1\;\Rightarrow\; \theta_L = \arcsin\left(\dfrac{1}{1{,}33}\right) = 48{,}8^\circ$

Ese ángulo límite es la clave para revisar la tabla: cualquier rayo que incida con más de $48{,}8^\circ$ sufre reflexión total y no sale al aire.

Se comprueban ahora las casillas una por una:

$\text{Rayo 1 } (36^\circ)\text{: }\ \text{sen}\,\theta_r = 1{,}33\cdot0{,}588 = 0{,}782\;\Rightarrow\;\theta_r = 51{,}4^\circ$

El valor de la tabla es correcto.

$\text{Rayo 2 } (40^\circ)\text{: }\ \text{sen}\,\theta_r = 1{,}33\cdot0{,}643 = 0{,}855\;\Rightarrow\;\theta_r = 58{,}7^\circ$

La casilla estaba vacía; este es el valor que le corresponde.

$\text{Rayo 3 } (45^\circ)\text{: }\ \text{sen}\,\theta_r = 1{,}33\cdot0{,}707 = 0{,}940\;\Rightarrow\;\theta_r = 70{,}2^\circ$

La tabla daba $19{,}8^\circ$, que es incorrecto. Nótese que $19{,}8^\circ = 90^\circ - 70{,}2^\circ$: el error consiste en haber medido el ángulo desde la superficie en lugar de desde la normal.

$\text{Rayo 4 } (46^\circ)\text{: }\ \text{sen}\,\theta_r = 1{,}33\cdot0{,}719 = 0{,}957\;\Rightarrow\;\theta_r = 73{,}1^\circ$

La tabla decía «No hay haz», y es incorrecto: $46^\circ$ todavía es menor que el ángulo límite de $48{,}8^\circ$, así que sí existe rayo refractado, aunque muy rasante.

$\text{Rayo 5 } (52^\circ)\text{: }\ \text{sen}\,\theta_r = 1{,}33\cdot0{,}788 = 1{,}05 > 1$

La tabla daba $120^\circ$, que es imposible por partida doble: ningún ángulo de refracción puede superar los $90^\circ$, y además $52^\circ$ ya está por encima del ángulo límite. No hay haz refractado: se produce reflexión total.

$\text{Rayo 6 } (60^\circ)\text{: }\ \text{sen}\,\theta_r = 1{,}33\cdot0{,}866 = 1{,}15 > 1$

La casilla estaba vacía y le corresponde la misma respuesta: no hay haz refractado, por reflexión total.

La tabla corregida queda así:

Rayo	1	2	3	4	5	6 $\theta_{\text{incidente}}\ \text{(grados)}$	36	40	45	46	52	60 $\theta_{\text{refractado}}\ \text{(grados)}$	51,4	58,7	70,2	73,1	No hay haz	No hay haz

Este fenómeno es el que explica que, mirando desde debajo del agua, todo el exterior se vea concentrado en un cono de unos $49^\circ$ alrededor de la vertical, y que fuera de él la superficie actúe como un espejo.