Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2023

El péndulo de segundos es un péndulo cuyo periodo en la Tierra es, precisamente, dos segundos (un segundo para el camino de ida y un segundo para el de vuelta). Si se llevara uno a la Luna podríamos encontrar los siguientes periodos, medidos en segundos:

$T_1$	$T_2$	$T_3$	$T_4$ 4,92	4,97	4,91	4,90

Determine la gravedad en la Luna a partir de los datos.

El razonamiento tiene dos fases: primero se obtiene la longitud del péndulo a partir de su comportamiento en la Tierra, y después se usa esa longitud, junto con los periodos medidos, para calcular la gravedad lunar.

i) El periodo de un péndulo simple es:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

Por definición, el péndulo de segundos tiene un periodo de $2\ \text{s}$ en la Tierra, de modo que su longitud es:

$L = \dfrac{g_T\,T_T^2}{4\pi^2} = \dfrac{9{,}8\cdot2^2}{4\pi^2} = 0{,}993\ \text{m}$

Prácticamente un metro, que es la característica que hizo célebre a este péndulo.

ii) La longitud no cambia al llevarlo a la Luna, así que basta sustituir el periodo medido allí. Se toma la media aritmética de las cuatro medidas, que reduce el efecto de los errores accidentales:

$\overline{T_L} = \dfrac{4{,}92 + 4{,}97 + 4{,}91 + 4{,}90}{4} = 4{,}925\ \text{s}$

$g_L = \dfrac{4\pi^2 L}{\overline{T_L}^2} = \dfrac{4\pi^2\cdot0{,}993}{4{,}925^2}$

$g_L = 1{,}62\ \text{m/s}^2$

La gravedad en la superficie de la Luna resulta ser de $1{,}62\ \text{m/s}^2$, aproximadamente la sexta parte de la terrestre, que es el valor conocido. El resultado se podía anticipar sin cuentas: el periodo se ha multiplicado por unos $2{,}46$, y como el periodo va con $1/\sqrt{g}$, la gravedad tiene que haberse dividido por $2{,}46^2 \approx 6$.