Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Si se redujera a la mitad el volumen de la Tierra y perdiese la mitad de su masa, ¿cómo se vería afectada la aceleración de la gravedad en su superficie?

La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta se obtiene de la ley de gravitación universal de Newton:

$g = G\dfrac{M}{R^2}$

Hay que ver cómo cambian por separado la masa y el radio.

La masa se reduce a la mitad, según el enunciado:

$M' = \dfrac{M}{2}$

Para el radio hay que pasar por el volumen, ya que lo que se reduce a la mitad es este. Suponiendo que la Tierra sigue siendo esférica:

$V = \dfrac43\pi R^3\;\Rightarrow\; V' = \dfrac{V}{2}$

$\dfrac43\pi R'^3 = \dfrac12\cdot\dfrac43\pi R^3\;\Rightarrow\; R'^3 = \dfrac{R^3}{2}$

$R' = \dfrac{R}{\sqrt[3]{2}} = 0{,}794\,R$

El radio no se reduce a la mitad, sino solo un $21\ \%$: el volumen va con el cubo del radio, de modo que hace falta un cambio grande de volumen para variar poco el radio.

Se sustituyen ambos resultados en la expresión de la gravedad:

$g' = G\dfrac{M'}{R'^2} = G\dfrac{M/2}{\left(\dfrac{R}{\sqrt[3]{2}}\right)^2} = G\dfrac{M}{R^2}\cdot\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}$

$g' = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\,g = 0{,}794\,g$

La gravedad en la superficie disminuiría hasta el $79{,}4\ \%$ de su valor actual, es decir, un $20{,}6\ \%$ menos:

$g' = 0{,}794\cdot9{,}8 = 7{,}78\ \text{m/s}^2$

El resultado no es evidente de entrada: al perder masa la gravedad tiende a disminuir, pero al encoger el planeta la superficie se acerca al centro y eso la aumenta. Gana el primer efecto, aunque solo en parte.