Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

En la figura se muestra un conductor muy largo y un electrón que se mueve paralelamente al conductor.

a) Calcule el módulo del vector $\vec{B}$ que produce la corriente eléctrica en el punto en que se encuentra el electrón.

b) ¿Qué dirección y sentido habría que dar a un campo eléctrico externo que añadiésemos para que el electrón mantenga la trayectoria rectilínea mostrada? Incluya un esquema donde aparezcan las fuerzas implicadas y los vectores $\vec{B}$ y $\vec{E}$.

Dato: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}$.

$\textbf{a) Calcule el módulo del vector } \boldsymbol{\vec B}\textbf{ que produce la corriente eléctrica en el punto en que se encuentra el electrón.}$










El módulo del campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $r$ de él es:

$B = \dfrac{\mu_0\,I}{2\pi r}$

Se expresa la distancia en unidades del Sistema Internacional y se sustituye:

$r = 8{,}0\ \text{cm} = 0{,}080\ \text{m}$

$B = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2{,}0}{2\pi\cdot0{,}080} = 5{,}0\cdot10^{-6}\ \text{T}$





En cuanto a su dirección y sentido, la regla de la mano derecha aplicada al conductor —pulgar en el sentido de la corriente, hacia la derecha— indica que por debajo del hilo las líneas de campo entran en el papel:

$\vec B = -5{,}0\cdot10^{-6}\,\vec k\ \text{T}$

$\textbf{b) ¿Qué dirección y sentido habría que dar a un campo eléctrico externo que añadiésemos para que el electrón mantenga la trayectoria rectilínea mostrada?}$

Sobre el electrón, que se mueve paralelamente al hilo y en el mismo sentido que la corriente, actúa la fuerza de Lorentz:

$\vec F_B = q\,(\vec v\times\vec B)$

Se calcula primero el producto vectorial, con la velocidad en el sentido $+X$ y el campo entrante:

$\vec v\times\vec B = v\,\vec{\imath}\times(-B\,\vec k) = -v\,B\,(\vec{\imath}\times\vec k) = +v\,B\,\vec{\jmath}$

Y como la carga del electrón es negativa, la fuerza tiene el sentido contrario:

$\vec F_B = -e\,v\,B\,\vec{\jmath}$

Es decir, la fuerza magnética empuja al electrón hacia abajo, alejándolo del hilo.

Para que la trayectoria siga siendo rectilínea, la fuerza total debe anularse, y el campo eléctrico tiene que producir sobre el electrón una fuerza hacia arriba, de igual módulo:

$\vec F_E = -\vec F_B\;\Rightarrow\; q\,\vec E = +e\,v\,B\,\vec{\jmath}$

$-e\,\vec E = +e\,v\,B\,\vec{\jmath}\;\Rightarrow\; \vec E = -v\,B\,\vec{\jmath}$

El campo eléctrico debe ser vertical y apuntar hacia abajo, es decir, alejándose del hilo. Conviene no confundirlo con la fuerza: como la carga del electrón es negativa, la fuerza eléctrica que siente tiene el sentido contrario al campo y lo empuja hacia arriba, que es justo lo que compensa a la fuerza magnética.

Su módulo debería valer:

$E = v\,B$

aunque no puede calcularse numéricamente porque el enunciado no da la velocidad del electrón.