Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2023

La imagen de la derecha representa el perfil de una onda que tiene una velocidad de propagación $v = 200\ \text{m/s}$. Determine su longitud de onda, frecuencia y desfase, y escriba la función de la onda.

Los datos de la onda se leen directamente de la gráfica, que es una fotografía del perfil en un instante dado, es decir, la elongación en función de la posición.

La amplitud es la elongación máxima:

$A = 0{,}03\ \text{m}$

La longitud de onda es la distancia entre dos máximos consecutivos, o entre dos puntos en el mismo estado de vibración. En la gráfica los máximos están en $x = 0$, $0{,}02$, $0{,}04$ y $0{,}06\ \text{m}$:

$\lambda = 0{,}02\ \text{m}$

Conocida la velocidad de propagación, la frecuencia sale de la relación entre las tres magnitudes:

$v = \lambda\,f\;\Rightarrow\; f = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{200}{0{,}02} = 1{,}0\cdot10^{4}\ \text{Hz}$

De ahí se obtienen la frecuencia angular y el número de ondas:

$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot10^{4} = 6{,}28\cdot10^{4}\ \text{rad/s}$

$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{0{,}02} = 100\pi = 3{,}14\cdot10^{2}\ \text{rad/m}$

Para el desfase se impone la condición que se lee en la gráfica: en el instante de la fotografía, el punto $x = 0$ está en un máximo.

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$

$y(0,0) = 0{,}03\,\text{sen}(\varphi_0) = 0{,}03\;\Rightarrow\; \text{sen}(\varphi_0) = 1$

$\varphi_0 = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

Y la función de onda, en unidades del Sistema Internacional, queda:

$y(x,t) = 0{,}03\,\text{sen}\left(2\cdot10^{4}\pi\,t - 100\pi\,x + \dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{m}$

que también puede escribirse de forma equivalente con un coseno, ya que un desfase de $\pi/2$ es justo lo que convierte el seno en coseno:

$y(x,t) = 0{,}03\cos\left(2\cdot10^{4}\pi\,t - 100\pi\,x\right)\ \text{m}$