Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2023

En un concierto hay $10\,000$ personas pidiendo un «bis». Si emplean $1{,}5\ \text{s}$ en cada grito y la sonoridad a la misma distancia de cada emisor es de $75\ \text{dB}$, determine la sonoridad total y la energía total transmitida por el aire a través de $1\ \text{cm}^2$.

Dato: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$.

Las intensidades de varios focos sonoros independientes se suman, de modo que $10\,000$ personas gritando a la vez producen una intensidad $10\,000$ veces la de una sola.

El nivel de intensidad sonora de una persona es:

$\beta_1 = 10\log\dfrac{I_1}{I_0} = 75\ \text{dB}$

Y el del conjunto:

$\beta_{\text{total}} = 10\log\dfrac{10\,000\,I_1}{I_0} = 10\log\dfrac{I_1}{I_0} + 10\log 10\,000$

$\beta_{\text{total}} = 75 + 10\cdot4 = 115\ \text{dB}$

Obsérvese lo que dice la escala logarítmica: multiplicar por diez mil el número de emisores solo añade $40\ \text{dB}$ al nivel sonoro.

Para la energía transmitida se necesita antes la intensidad total, que se despeja de la definición de nivel:

$115 = 10\log\dfrac{I_{\text{total}}}{10^{-12}}\;\Rightarrow\; \dfrac{I_{\text{total}}}{10^{-12}} = 10^{11{,}5}$

$I_{\text{total}} = 10^{-12}\cdot3{,}16\cdot10^{11} = 0{,}316\ \text{W/m}^2$

La intensidad es la potencia que atraviesa la unidad de superficie, así que la energía que pasa por una superficie $S$ durante un tiempo $t$ es:

$E = I\,S\,t$

Se expresa la superficie en unidades del Sistema Internacional:

$S = 1\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2$

$E = 0{,}316\cdot10^{-4}\cdot1{,}5 = 4{,}74\cdot10^{-5}\ \text{J}$

La sonoridad total es de $115\ \text{dB}$ —al borde del umbral del dolor— y por cada centímetro cuadrado pasan solo $4{,}74\cdot10^{-5}\ \text{J}$ durante el grito. La energía asociada al sonido es siempre muy pequeña; lo que hace daño es la potencia por unidad de superficie, no la energía total.