Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla-La Mancha · 2023

Un objeto de $4{,}4\ \text{cm}$ de altura está situado $4{,}0\ \text{cm}$ a la izquierda de una lente divergente, y se observa una imagen virtual $2{,}8\ \text{cm}$ a la izquierda de la lente cuando se ilumina con una luz que viene de la izquierda.

a) Determine la focal de la lente, su potencia en dioptrías, el tamaño de la imagen y su orientación.

b) Explique las 3 reglas de trazado de rayos, y aplíquelas a este caso para mostrar los resultados anteriores. Trate de mantener las proporciones en el dibujo.

c) Si sustituimos la lente divergente por una convergente con la misma focal, calcule dónde aparecerá la imagen y qué altura tendrá. Realice un trazado de rayos para ilustrarlo.

$\textbf{a) Determine la focal de la lente, su potencia en dioptrías, el tamaño de la imagen y su orientación.}$

Se usa el criterio de signos habitual: la luz viaja de izquierda a derecha y las distancias se miden desde la lente, positivas hacia la derecha. Con los datos del enunciado:

$s = -4{,}0\ \text{cm}\qquad s' = -2{,}8\ \text{cm}\qquad y = 4{,}4\ \text{cm}$

La ecuación de las lentes delgadas es:

$\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$

$\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{-2{,}8} - \dfrac{1}{-4{,}0} = -0{,}357 + 0{,}250 = -0{,}107\ \text{cm}^{-1}$

$f' = -9{,}33\ \text{cm}$

La focal es negativa, como corresponde a una lente divergente. La potencia es su inversa, con la focal en metros:

$P = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{-9{,}33\cdot10^{-2}} = -10{,}7\ \text{D}$

El aumento lateral es el cociente entre las distancias imagen y objeto:

$\beta = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{-2{,}8}{-4{,}0} = 0{,}70$

$y' = \beta\,y = 0{,}70\cdot4{,}4 = 3{,}08\ \text{cm}$

La imagen mide $3{,}08\ \text{cm}$ y, al ser el aumento positivo, es derecha: tiene la misma orientación que el objeto. Además es virtual, porque $s' < 0$ la sitúa en el mismo lado que el objeto, y menor que él.

$\textbf{b) Explique las 3 reglas de trazado de rayos, y aplíquelas a este caso.}$










Los tres rayos principales de una lente delgada son:

i) El rayo que llega paralelo al eje óptico emerge pasando por el foco imagen $F'$. En una lente divergente emerge como si procediera de él, ya que $F'$ está en el lado del objeto.

ii) El rayo que se dirige al foco objeto $F$ emerge paralelo al eje óptico.

iii) El rayo que pasa por el centro óptico no se desvía.





Basta con dos de ellos: donde se cortan los rayos emergentes —o sus prolongaciones— está el punto imagen.

En el trazado se ve que los rayos que salen de la lente divergen, de modo que nunca llegan a cortarse realmente. Lo que se cortan son sus prolongaciones hacia atrás, dibujadas en trazo discontinuo, y ese corte se produce a la izquierda de la lente, entre ella y el foco. La imagen es virtual, derecha y menor, exactamente lo que decían los números del apartado anterior.

$\textbf{c) Si sustituimos la lente divergente por una convergente con la misma focal, calcule dónde aparecerá la imagen y qué altura tendrá.}$










Ahora la focal es positiva y del mismo valor absoluto:

$f' = +9{,}33\ \text{cm}$

Se aplica de nuevo la ecuación de las lentes delgadas:

$\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{9{,}33} + \dfrac{1}{-4{,}0}$

$\dfrac{1}{s'} = 0{,}107 - 0{,}250 = -0{,}143\ \text{cm}^{-1}$





$s' = -7{,}0\ \text{cm}$

$\beta = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{-7{,}0}{-4{,}0} = 1{,}75$

$y' = 1{,}75\cdot4{,}4 = 7{,}7\ \text{cm}$

La imagen se forma $7{,}0\ \text{cm}$ a la izquierda de la lente y mide $7{,}7\ \text{cm}$. Como $s' < 0$, sigue siendo virtual, pero ahora es derecha y mayor que el objeto.

La diferencia con el apartado anterior está en que el objeto se encuentra a $4{,}0\ \text{cm}$ de la lente, es decir, más cerca que el foco objeto, que está a $9{,}33\ \text{cm}$. Una lente convergente con el objeto dentro de la distancia focal es precisamente una lupa: da una imagen virtual, derecha y aumentada.