Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Un hilo rectilíneo muy largo que transporta una intensidad de $150\ \text{A}$ se coloca en una región en la que hay un campo magnético uniforme en dirección del eje $X$ positivo de valor $B_0 = 0{,}2\ \text{T}$.

a) Razone si hay alguna orientación posible para el hilo de modo que no sufra fuerza magnética, y en qué orientaciones será máxima esta fuerza.

b) Determine la fuerza por unidad de longitud que sufrirá el hilo debido a este campo externo $B_0$, indicando módulo, dirección y sentido en los siguientes casos (incluya en su respuesta un esquema aclaratorio, y tenga en cuenta que en los esquemas adjuntos de los dos casos el punto de vista se ha cambiado para visualizar mejor las condiciones particulares de cada pregunta):

(b1) La corriente circula en la dirección del eje $Y$ positivo.

(b2) La corriente lleva la dirección de la bisectriz del plano $XY$.
















c) Queremos anular la fuerza en el caso (b1) añadiendo un segundo hilo paralelo por encima del anterior, en el plano $YZ$, y con la misma corriente. Determine a qué distancia habrá que colocarlo y si el sentido de la corriente tendrá que ser el mismo del hilo inicial o el contrario.

Dato: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

$\textbf{a) Razone si hay alguna orientación posible para el hilo de modo que no sufra fuerza magnética, y en qué orientaciones será máxima esta fuerza.}$

La fuerza que un campo magnético ejerce sobre un conductor rectilíneo recorrido por una corriente es:

$\vec F = I\,\vec L\times\vec B_0$

y su módulo vale:

$F = I\,L\,B_0\,\text{sen}\,\alpha$

donde $\alpha$ es el ángulo que forman el conductor y el campo.

La fuerza se anula cuando $\text{sen}\,\alpha = 0$, es decir, cuando el hilo es paralelo al campo. Como $\vec B_0$ lleva la dirección del eje $X$, basta con orientar el hilo según ese eje, en cualquiera de los dos sentidos.

La fuerza es máxima cuando $\text{sen}\,\alpha = 1$, o sea con el hilo perpendicular al campo. Eso ocurre para cualquier orientación contenida en el plano $YZ$.

$\textbf{b) Determine la fuerza por unidad de longitud que sufrirá el hilo debido a este campo externo } \boldsymbol{B_0}\textbf{, indicando módulo, dirección y sentido.}$










(b1) Con la corriente en el sentido positivo del eje $Y$, el hilo es perpendicular al campo y la fuerza es máxima:

$\dfrac{\vec F}{L} = I\,(\vec{\jmath}\times B_0\,\vec{\imath}) = I\,B_0\,(\vec{\jmath}\times\vec{\imath}) = -I\,B_0\,\vec k$

$\dfrac{F}{L} = 150\cdot0{,}2 = 30\ \text{N/m}$





La fuerza tiene la dirección del eje $Z$ y sentido negativo, es decir, empuja el hilo hacia abajo.

(b2) Si la corriente lleva la dirección de la bisectriz del plano $XY$, su vector unitario es:

$\vec u = \dfrac{\vec{\imath} + \vec{\jmath}}{\sqrt2}$

$\dfrac{\vec F}{L} = I\,\dfrac{\vec{\imath}+\vec{\jmath}}{\sqrt2}\times B_0\,\vec{\imath} = \dfrac{I\,B_0}{\sqrt2}\,(\vec{\jmath}\times\vec{\imath}) = -\dfrac{I\,B_0}{\sqrt2}\,\vec k$

La componente de la corriente paralela al campo no contribuye —su producto vectorial es nulo—, y solo cuenta la perpendicular, que es $1/\sqrt2$ de la total:

$\dfrac{F}{L} = \dfrac{150\cdot0{,}2}{\sqrt2} = 21{,}2\ \text{N/m}$

De nuevo en la dirección del eje $Z$ y sentido negativo, pero con un módulo menor que en el caso anterior, como corresponde al $\text{sen}(45^\circ)$.

$\textbf{c) Determine a qué distancia habrá que colocar el segundo hilo y si el sentido de la corriente tendrá que ser el mismo del hilo inicial o el contrario.}$










La fuerza que el campo externo ejerce sobre el hilo del caso (b1) apunta hacia abajo, en $-\vec k$, así que el segundo hilo debe ejercer sobre él una fuerza hacia arriba de igual módulo.

Como el segundo hilo se coloca por encima, esa fuerza tiene que ser atractiva, y dos corrientes paralelas se atraen cuando circulan en el mismo sentido.





Por tanto, la corriente del segundo hilo debe llevar el mismo sentido que la del primero.

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos es:

$\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d}$

Se iguala a la que hay que compensar y se despeja la distancia:

$\dfrac{\mu_0\,I^2}{2\pi\,d} = I\,B_0$

$d = \dfrac{\mu_0\,I}{2\pi\,B_0} = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot150}{2\pi\cdot0{,}2}$

$d = 1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{m} = 0{,}15\ \text{mm}$

Hay que colocar el segundo hilo a solo $0{,}15\ \text{mm}$ por encima del primero. La distancia sale tan pequeña porque la fuerza entre corrientes es muy débil comparada con la que ejerce un campo de $0{,}2\ \text{T}$, y solo a distancias muy cortas llega a igualarla.