Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

La Luna tiene una masa de $7{,}35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$ y un radio de $1\,740\ \text{km}$. La nave Artemisa, con una masa de $5\,000\ \text{kg}$, orbita alrededor a una distancia de su centro igual a 5 veces el radio de la Luna. Determine de manera razonada, y deduciendo las expresiones matemáticas empleadas:

a) El periodo de rotación de la nave, en horas.

b) La energía mecánica de la nave.

c) La velocidad mínima que necesitarán proporcionar los cohetes de la nave para abandonar la superficie de la Luna y volver a la Tierra al terminar la misión.

Dato: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) El periodo de rotación de la nave, en horas.}$










La única fuerza que actúa sobre la nave es la atracción gravitatoria de la Luna, y como la órbita es circular esa fuerza hace de centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M\,m}{r^2} = m\,\dfrac{v^2}{r}$

Sustituyendo la velocidad orbital por su expresión en función del periodo, $v = 2\pi r/T$:

$G\dfrac{M}{r^2} = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$





De donde se despeja el periodo:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M}}$

El radio de la órbita es cinco veces el radio lunar:

$r = 5\,R_L = 5\cdot1{,}74\cdot10^{6} = 8{,}70\cdot10^{6}\ \text{m}$

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{(8{,}70\cdot10^{6})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}} = 7{,}28\cdot10^{4}\ \text{s}$

Y expresado en horas:

$T = \dfrac{7{,}28\cdot10^{4}}{3\,600} = 20{,}2\ \text{h}$

$\textbf{b) La energía mecánica de la nave.}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. La cinética se obtiene de la misma igualdad de fuerzas del apartado anterior:

$G\dfrac{M\,m}{r^2} = \dfrac{m\,v^2}{r}\;\Rightarrow\; m\,v^2 = G\dfrac{M\,m}{r}$

$E_c = \dfrac12\,m\,v^2 = \dfrac12\,G\dfrac{M\,m}{r}$

Y la potencial es:

$E_p = -G\dfrac{M\,m}{r}$

Sumando ambas se obtiene el resultado general para una órbita circular: la energía mecánica es la mitad de la potencial.

$E_m = \dfrac12\,G\dfrac{M\,m}{r} - G\dfrac{M\,m}{r} = -\dfrac12\,G\dfrac{M\,m}{r}$

$E_m = -\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}\cdot5\,000}{2\cdot8{,}70\cdot10^{6}}$

$E_m = -1{,}41\cdot10^{9}\ \text{J}$

El signo negativo indica que la nave está ligada a la Luna, como corresponde a una órbita cerrada.

$\textbf{c) La velocidad mínima que necesitarán proporcionar los cohetes de la nave para abandonar la superficie de la Luna y volver a la Tierra al terminar la misión.}$

Es la velocidad de escape desde la superficie lunar: la mínima que permite llegar al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2 - G\dfrac{M\,m}{R_L} = 0 + 0$

Se simplifica la masa de la nave, que no interviene, y se despeja:

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R_L}}$

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{1{,}74\cdot10^{6}}}$

$v_{\text{esc}} = 2{,}37\cdot10^{3}\ \text{m/s} = 2{,}37\ \text{km/s}$

Los cohetes tienen que proporcionar al menos $2{,}37\ \text{km/s}$, poco más de la quinta parte de la velocidad de escape terrestre. Esa es la ventaja de despegar desde la Luna en lugar de desde la Tierra.