Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

Una esfera metálica de $20\ \text{cm}$ de radio se carga conectándola a una batería de $50\ \text{V}$. Posteriormente se coloca a $3\ \text{m}$ de una segunda esfera de $30\ \text{cm}$ de radio que contiene una carga de $-3\ \text{nC}$.

a) Calcule la carga que la primera esfera absorbe de la batería y el potencial inicial de la segunda.

b) Determine la fuerza con que interaccionan las esferas, indicando módulo, dirección y sentido.

c) Si se conectan eléctricamente las esferas entre sí, determine la carga y el potencial con que termina cada una.

Dato: $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule la carga que la primera esfera absorbe de la batería y el potencial inicial de la segunda.}$

Al conectar la esfera a la batería, esta la carga hasta que su potencial iguala al de la batería. El potencial de una esfera conductora coincide con el que crearía una carga puntual situada en su centro:

$V = K\dfrac{Q}{R}\;\Rightarrow\; Q = \dfrac{V\,R}{K}$

$Q_1 = \dfrac{50\cdot0{,}20}{9\cdot10^{9}} = 1{,}11\cdot10^{-9}\ \text{C} = 1{,}11\ \text{nC}$

Para la segunda esfera el dato es la carga, y se calcula el potencial con la misma expresión:

$V_2 = K\dfrac{Q_2}{R_2} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-3\cdot10^{-9}}{0{,}30}$

$V_2 = -90\ \text{V}$

$\textbf{b) Determine la fuerza con que interaccionan las esferas, indicando módulo, dirección y sentido.}$

Como las esferas están separadas $3\ \text{m}$, una distancia mucho mayor que sus radios, se comportan como cargas puntuales y se aplica la ley de Coulomb:

$F = K\dfrac{|Q_1|\,|Q_2|}{d^2}$

$F = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{1{,}11\cdot10^{-9}\cdot3\cdot10^{-9}}{3^2}$

$F = 3{,}33\cdot10^{-9}\ \text{N}$

La dirección es la de la recta que une los centros de las dos esferas. En cuanto al sentido, las cargas son de signo contrario —positiva la primera y negativa la segunda—, de modo que la fuerza es atractiva: cada esfera es empujada hacia la otra.

$\textbf{c) Si se conectan eléctricamente las esferas entre sí, determine la carga y el potencial con que termina cada una.}$










Al unirlas forman un único conductor, y en el equilibrio electrostático todo conductor está a un mismo potencial:

$K\dfrac{Q_1'}{R_1} = K\dfrac{Q_2'}{R_2}\;\Rightarrow\; \dfrac{Q_1'}{Q_2'} = \dfrac{R_1}{R_2}$

A esta condición se añade la conservación de la carga: la carga total no cambia, solo se reparte.





$Q_1' + Q_2' = Q_1 + Q_2 = 1{,}11\cdot10^{-9} - 3\cdot10^{-9} = -1{,}89\cdot10^{-9}\ \text{C}$

Como la carga se reparte en proporción a los radios:

$Q_1' = Q_{\text{total}}\dfrac{R_1}{R_1+R_2} = -1{,}89\cdot10^{-9}\cdot\dfrac{0{,}20}{0{,}50}$

$Q_1' = -7{,}56\cdot10^{-10}\ \text{C} = -0{,}756\ \text{nC}$

$Q_2' = Q_{\text{total}}\dfrac{R_2}{R_1+R_2} = -1{,}89\cdot10^{-9}\cdot\dfrac{0{,}30}{0{,}50}$

$Q_2' = -1{,}13\cdot10^{-9}\ \text{C} = -1{,}13\ \text{nC}$

El potencial final, que es el mismo para las dos, se obtiene con cualquiera de ellas:

$V = K\dfrac{Q_1'}{R_1} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-7{,}56\cdot10^{-10}}{0{,}20} = -34{,}0\ \text{V}$

Se comprueba con la otra esfera:

$V = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-1{,}13\cdot10^{-9}}{0{,}30} = -34{,}0\ \text{V}$

Las dos esferas quedan con potencial $-34{,}0\ \text{V}$, un valor intermedio entre los $+50\ \text{V}$ y los $-90\ \text{V}$ iniciales, como corresponde a un reparto de la carga total entre ambas.