Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2023

En una película de ficción un astronauta se halla en un planeta desconocido tras perder el rumbo en su nave. Para conocer dónde se halla dispone de una tabla de la gravedad en distintos planetas, así que elabora tres péndulos de distintas longitudes y mide el tiempo que tardan en realizarse 10 oscilaciones con cada uno. Sus resultados son los siguientes. ¿En qué planeta es posible que se encuentre?

$\text{Longitud (m)}$	$\text{Tiempo (s)}$ 0,5	24 1,0	32 1,5	40

Gravedad superficial (m/s²):

Venus	Tierra	Marte	Júpiter	Saturno	Urano 8,87	9,81	3,71	24,79	10,44	8,69

El periodo de un péndulo simple depende de su longitud y de la gravedad del lugar:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

Primero se obtiene el periodo de cada uno de los tres péndulos, dividiendo entre diez el tiempo de las diez oscilaciones:

$L\ \text{(m)}$	$t_{10}\ \text{(s)}$	$T\ \text{(s)}$	$T^2\ (\text{s}^2)$ 0,5	24	2,4	5,76 1,0	32	3,2	10,24 1,5	40	4,0	16,00

Elevando al cuadrado la expresión del periodo se obtiene una relación lineal entre $T^2$ y $L$:

$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,L$

Es la ecuación de una recta que pasa por el origen y cuya pendiente vale $4\pi^2/g$. Representando los tres pares de datos se comprueba que están alineados, y de la pendiente se despeja la gravedad.





La pendiente que mejor se ajusta a los tres puntos es:

$\text{pendiente} = \dfrac{\sum L\,T^2}{\sum L^2} = \dfrac{0{,}5\cdot5{,}76 + 1\cdot10{,}24 + 1{,}5\cdot16}{0{,}5^2 + 1^2 + 1{,}5^2} = \dfrac{37{,}12}{3{,}5} = 10{,}61\ \dfrac{\text{s}^2}{\text{m}}$

Y de ahí:

$g = \dfrac{4\pi^2}{\text{pendiente}} = \dfrac{4\pi^2}{10{,}61} = 3{,}72\ \text{m/s}^2$

Se llega a un valor prácticamente igual calculando la gravedad con cada péndulo por separado —$3{,}43$, $3{,}86$ y $3{,}70\ \text{m/s}^2$— y promediando los tres, aunque el ajuste de la recta es preferible porque aprovecha las tres medidas a la vez.

Comparando el resultado con la tabla de gravedades:

Planeta	$g\ (\text{m/s}^2)$	Diferencia con $3{,}72$ Venus	8,87	$5{,}15$ Tierra	9,81	$6{,}09$ Marte	3,71	$0{,}01$ Júpiter	24,79	$21{,}07$ Saturno	10,44	$6{,}72$ Urano	8,69	$4{,}97$

El valor obtenido, $3{,}72\ \text{m/s}^2$, coincide con la gravedad de Marte, $3{,}71\ \text{m/s}^2$, y se aleja muchísimo de la de cualquier otro planeta de la lista. El astronauta se encuentra, por tanto, en Marte.