Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2023

Un claxon se oye hasta una distancia de $2\ \text{km}$.

a) Calcule la sensación sonora en dB a $200\ \text{m}$.

b) ¿Cuántos cláxones habría que juntar para que a $200\ \text{m}$ la sensación sonora fuera de $90\ \text{dB}$?

Dato: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$.

$\textbf{a) Calcule la sensación sonora en dB a } \boldsymbol{200\ \text{m}}\textbf{.}$










Que el claxon «se oiga hasta una distancia de $2\ \text{km}$» significa que a esa distancia la intensidad de la onda es justo la umbral del oído humano:

$I(2\,000\ \text{m}) = I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$

El foco emite en todas direcciones y la potencia se reparte sobre frentes de onda esféricos, de modo que la intensidad decae con el cuadrado de la distancia:

$\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{r_2^2}{r_1^2}$





Se calcula la intensidad a $200\ \text{m}$:

$I(200) = I_0\left(\dfrac{2\,000}{200}\right)^2 = 10^{-12}\cdot100 = 10^{-10}\ \text{W/m}^2$

Y el nivel de intensidad sonora correspondiente:

$\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0} = 10\log\dfrac{10^{-10}}{10^{-12}} = 10\log 100$

$\beta = 20\ \text{dB}$

$\textbf{b) ¿Cuántos cláxones habría que juntar para que a } \boldsymbol{200\ \text{m}}\textbf{ la sensación sonora fuera de } \boldsymbol{90\ \text{dB}}\textbf{?}$

Las intensidades de varios focos independientes se suman, de modo que $n$ cláxones iguales producen una intensidad $n$ veces mayor. Primero se obtiene la intensidad que corresponde a los $90\ \text{dB}$ pedidos:

$90 = 10\log\dfrac{I'}{10^{-12}}\;\Rightarrow\; \dfrac{I'}{10^{-12}} = 10^{9}$

$I' = 10^{-3}\ \text{W/m}^2$

Y se compara con la intensidad de un solo claxon a esa misma distancia:

$n = \dfrac{I'}{I(200)} = \dfrac{10^{-3}}{10^{-10}} = 10^{7}$

Harían falta diez millones de cláxones. El número es enorme precisamente por lo que mide la escala de decibelios: es logarítmica, y subir $70\ \text{dB}$ exige multiplicar la intensidad por diez millones, no sumarle una cantidad fija.