Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2023

El yodo radiactivo $^{131}_{53}\text{I}$ es un isótopo usado en radioterapia para tratar algunos cánceres de tiroides, mientras que el isótopo 19 del flúor $^{19}_{9}\text{F}$ tiene características que permiten su uso en técnicas de RMN (resonancia magnética nuclear). Las masas respectivas de los dos núclidos son $130{,}9061\ \text{uma}$ y $18{,}9984\ \text{uma}$. Indique, de forma razonada, cuál de los dos núcleos tiene mayor estabilidad.

Datos: $m_p = 1{,}007276\ \text{uma}$; $m_n = 1{,}008665\ \text{uma}$; $1\ \text{uma} = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

La estabilidad de un núcleo no se mide por su energía de enlace total, sino por la energía de enlace por nucleón: cuanto mayor es, más fuertemente unidos están sus nucleones y más estable es el núcleo.

La energía de enlace se obtiene del defecto de masa, es decir, de la diferencia entre la masa de los nucleones por separado y la masa del núcleo, aplicando la equivalencia masa-energía de Einstein:

$\Delta m = Z\,m_p + (A-Z)\,m_n - m_{\text{núcleo}}$

$E_{\text{enlace}} = \Delta m\,c^2$

Para el yodo-131, con $Z = 53$ protones y $A - Z = 131 - 53 = 78$ neutrones:

$\Delta m = 53\cdot1{,}007276 + 78\cdot1{,}008665 - 130{,}9061 = 1{,}1554\ \text{uma}$

$E_{\text{enlace}} = 1{,}1554\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 1{,}726\cdot10^{-10}\ \text{J}$

Y la energía por nucleón, dividiendo entre el número másico:

$\dfrac{E_{\text{enlace}}}{A} = \dfrac{1{,}726\cdot10^{-10}}{131} = 1{,}32\cdot10^{-12}\ \text{J} = 8{,}24\ \text{MeV}$

Para el flúor-19, con $Z = 9$ protones y $19 - 9 = 10$ neutrones:

$\Delta m = 9\cdot1{,}007276 + 10\cdot1{,}008665 - 18{,}9984 = 0{,}1536\ \text{uma}$

$E_{\text{enlace}} = 0{,}1536\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 2{,}295\cdot10^{-11}\ \text{J}$

$\dfrac{E_{\text{enlace}}}{A} = \dfrac{2{,}295\cdot10^{-11}}{19} = 1{,}21\cdot10^{-12}\ \text{J} = 7{,}55\ \text{MeV}$

El yodo-131 tiene una energía de enlace por nucleón de $8{,}24\ \text{MeV}$ frente a los $7{,}55\ \text{MeV}$ del flúor-19, de modo que el núcleo de yodo-131 es el más estable de los dos.

Merece la pena señalar que la energía de enlace total del yodo es más de siete veces mayor que la del flúor, pero eso no dice nada por sí solo: tiene casi siete veces más nucleones. La comparación solo es significativa por nucleón.