Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

El 20 de julio de 1969, la nave Apolo 11 consiguió alunizar. Calcule la energía mínima que tendrían que aportar los motores a la nave para poder escapar de la gravedad de la Luna, partiendo de su superficie. ¿Cuál será la velocidad de despegue? Deduzca las expresiones necesarias.

Datos: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $m_{\text{Luna}} = 7{,}35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$; $r_{\text{Luna}} = 1{,}74 \cdot 10^{3}\ \text{km}$; $m_{\text{nave}} = 45{,}7 \cdot 10^{3}\ \text{kg}$.

La energía mínima que hay que comunicar a la nave es la que la lleva desde la superficie de la Luna hasta el infinito, llegando allí con velocidad nula.

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que la energía mecánica se conserva y basta imponer que sea nula en el infinito:

$E_c + E_p = E_c(\infty) + E_p(\infty) = 0$





Como la nave parte del reposo sobre la superficie, la energía que hay que aportar es exactamente la energía potencial cambiada de signo:

$E_{\text{aportada}} = -E_p(r_L) = G\dfrac{m_{\text{Luna}}\,m_{\text{nave}}}{r_L}$

Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional:

$r_L = 1{,}74\cdot10^{3}\ \text{km} = 1{,}74\cdot10^{6}\ \text{m}\qquad m_{\text{nave}} = 45{,}7\cdot10^{3}\ \text{kg}$

$E_{\text{aportada}} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{7{,}35\cdot10^{22}\cdot45{,}7\cdot10^{3}}{1{,}74\cdot10^{6}}$

$E_{\text{aportada}} = 1{,}29\cdot10^{11}\ \text{J}$

Para la velocidad de despegue se plantea la misma conservación, pero escribiendo la energía aportada como energía cinética inicial:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2 - G\dfrac{m_{\text{Luna}}\,m}{r_L} = 0$

Se simplifica la masa de la nave —la velocidad de escape no depende de ella— y se despeja:

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\,G\,m_{\text{Luna}}}{r_L}}$

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{1{,}74\cdot10^{6}}} = 2{,}37\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Los motores tendrían que aportar $1{,}29\cdot10^{11}\ \text{J}$ y la velocidad de despegue sería de $2{,}37\ \text{km/s}$, unas cinco veces menor que la velocidad de escape terrestre. Esa diferencia es la que hizo posible que el módulo lunar despegara con un motor pequeño.