Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2023

Una espira cuadrada de lado $a = 2\ \text{m}$ se sitúa en el plano $XY$, y se activa un campo magnético en la dirección $Z$ positiva. Este campo es variable en el tiempo, y su módulo en teslas se expresa como $B(t) = 0{,}04\,t^{2}$. Detectamos que aparece en la espira una corriente inducida de $200\ \text{mA}$ cuando $t = 10\ \text{s}$.

a) Determine razonadamente la resistencia de la espira e indique en un esquema el sentido que tendrá la corriente.

b) Razone cuánto valdría la corriente inducida en los siguientes casos:

• Se cambia la dirección del campo de modo que forme $60^\circ$ con el eje $Z$.

• La espira se coloca en el plano $XZ$.

• La espira se coloca en el plano $YZ$.

c) Volviendo al caso en que está colocada en $XY$ y el campo a lo largo de $Z$, ocurre que, como la corriente inducida circula en presencia del mencionado campo externo, sobre cada tramo de la espira aparecerá una fuerza. Calcúlela en $t = 3\ \text{s}$ indicando módulo, dirección y sentido para cada tramo del cuadrado, y determine la fuerza total que sufrirá la espira.

$\textbf{a) Determine razonadamente la resistencia de la espira e indique en un esquema el sentido que tendrá la corriente.}$










La espira está en el plano $XY$ y el campo lleva la dirección del eje $Z$, de modo que campo y vector superficie son paralelos y el flujo es simplemente:

$\Phi = B(t)\,S = 0{,}04\,t^2\cdot a^2$

Por la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo cambiada de signo:

$\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -0{,}08\,t\,a^2$





Con $a = 2\ \text{m}$, el área es $S = 4\ \text{m}^2$, y en el instante que da el enunciado:

$|\varepsilon| = 0{,}08\cdot10\cdot4 = 3{,}2\ \text{V}$

Aplicando la ley de Ohm al circuito:

$R = \dfrac{|\varepsilon|}{I} = \dfrac{3{,}2}{0{,}200} = 16\ \Omega$

En cuanto al sentido, la ley de Lenz dice que la corriente inducida se opone a la variación que la produce. Aquí el flujo saliente crece, así que la corriente inducida crea dentro de la espira un campo entrante: circula en sentido horario vista desde el semieje $Z$ positivo.

$\textbf{b) Razone cuánto valdría la corriente inducida en los siguientes casos.}$

En los tres casos lo único que cambia es el ángulo entre el campo y el vector superficie, ya que el flujo es:

$\Phi = B\,S\cos\alpha$

i) Si el campo forma $60^\circ$ con el eje $Z$, el flujo queda multiplicado por $\cos 60^\circ = 0{,}5$, y con él la fuerza electromotriz y la corriente:

$I = 0{,}5\cdot200 = 100\ \text{mA} = 0{,}1\ \text{A}$

ii) Si la espira se coloca en el plano $XZ$, su vector superficie apunta según el eje $Y$, perpendicular al campo:

$\Phi = B\,S\cos 90^\circ = 0$

El flujo es nulo en todo instante, así que su derivada también lo es y no hay corriente inducida: $I = 0$.

iii) Si la espira se coloca en el plano $YZ$, su vector superficie apunta según el eje $X$, de nuevo perpendicular al campo, y por el mismo motivo $I = 0$.

$\textbf{c) Calcúlela en } \boldsymbol{t = 3\ \text{s}}\textbf{ indicando módulo, dirección y sentido para cada tramo del cuadrado, y determine la fuerza total que sufrirá la espira.}$

Primero se calculan la corriente y el campo en ese instante:

$|\varepsilon| = 0{,}08\cdot3\cdot4 = 0{,}96\ \text{V}$

$I = \dfrac{0{,}96}{16} = 0{,}06\ \text{A}$

$B(3) = 0{,}04\cdot3^2 = 0{,}36\ \text{T}$

La fuerza sobre un tramo rectilíneo de corriente en un campo magnético es:

$\vec F = I\,\vec L\times\vec B$

Los cuatro lados están contenidos en el plano $XY$ y el campo es perpendicular a ese plano, de manera que en los cuatro el ángulo entre $\vec L$ y $\vec B$ es de $90^\circ$ y el módulo de la fuerza es el mismo:

$F = I\,a\,B = 0{,}06\cdot2\cdot0{,}36 = 4{,}32\cdot10^{-2}\ \text{N}$

La dirección de cada una es perpendicular al lado correspondiente y perpendicular al campo, es decir, contenida en el plano de la espira. Y el sentido, el que da el producto vectorial: como se ve en el esquema, las cuatro apuntan hacia el interior de la espira, que tiende por tanto a comprimirse.

La fuerza total es la suma vectorial de las cuatro. Las de dos lados opuestos tienen el mismo módulo y sentidos contrarios, de modo que se cancelan dos a dos:

$\vec F_{\text{total}} = \vec 0$

Es el resultado general para una espira cerrada en un campo magnético uniforme: la resultante es siempre nula, y lo único que puede aparecer es un momento de fuerzas que la haga girar, que aquí tampoco existe porque el campo es perpendicular al plano de la espira.