Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

La Tierra tiene una masa de $5{,}98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$, y la Luna $7{,}35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$. La distancia entre los centros de ambos astros es $3{,}84 \cdot 10^{8}\ \text{m}$. Una nave de $3 \cdot 10^{4}\ \text{kg}$ viaja entre ellos.

a) ¿Qué energía potencial tiene la Luna debida a la Tierra? ¿Cuál es su periodo (en días)?

b) Determine a qué distancia de la Tierra, en la línea que la une con la Luna, las fuerzas gravitatorias que ambos cuerpos ejercen sobre la nave se cancelan.

c) Si en el punto de equilibrio anterior le damos a la nave una velocidad de $1\ \text{km/s}$, ¿cuánto valdrá su energía mecánica total?

Dato: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) ¿Qué energía potencial tiene la Luna debida a la Tierra? ¿Cuál es su periodo (en días)?}$

La energía potencial gravitatoria de dos masas separadas una distancia $d$ es:

$E_p = -G\dfrac{M_T\,M_L}{d}$

$E_p = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{5{,}98\cdot10^{24}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{3{,}84\cdot10^{8}}$

$E_p = -7{,}63\cdot10^{28}\ \text{J}$

El signo negativo indica que la Luna está ligada a la Tierra: haría falta aportar esa energía para separarlas indefinidamente.

Para el periodo se aplica la tercera ley de Kepler, que se obtiene igualando la atracción gravitatoria a la fuerza centrípeta de la órbita circular:

$G\dfrac{M_T\,M_L}{d^2} = M_L\,\dfrac{4\pi^2 d}{T^2}\;\Rightarrow\; T = 2\pi\sqrt{\dfrac{d^3}{G\,M_T}}$

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{(3{,}84\cdot10^{8})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}} = 2{,}37\cdot10^{6}\ \text{s}$

Y expresado en días:

$T = \dfrac{2{,}37\cdot10^{6}}{86\,400} = 27{,}4\ \text{días}$

El resultado coincide con el mes sideral real de la Luna, lo que confirma que el planteamiento es correcto.

$\textbf{b) Determine a qué distancia de la Tierra, en la línea que la une con la Luna, las fuerzas gravitatorias que ambos cuerpos ejercen sobre la nave se cancelan.}$










En un punto $P$ situado entre los dos astros, las dos atracciones tienen sentidos opuestos, de modo que pueden cancelarse si sus módulos coinciden:

$G\dfrac{M_T\,m}{x^2} = G\dfrac{M_L\,m}{(d-x)^2}$

Se simplifican la constante y la masa de la nave, que no influyen:

$\dfrac{M_T}{x^2} = \dfrac{M_L}{(d-x)^2}$





Se toma la raíz cuadrada de ambos miembros, con los dos términos positivos porque $0 < x < d$:

$\dfrac{d-x}{x} = \sqrt{\dfrac{M_L}{M_T}} = \sqrt{\dfrac{7{,}35\cdot10^{22}}{5{,}98\cdot10^{24}}} = 0{,}1109$

$d - x = 0{,}1109\,x\;\Rightarrow\; d = 1{,}1109\,x$

$x = \dfrac{3{,}84\cdot10^{8}}{1{,}1109} = 3{,}46\cdot10^{8}\ \text{m}$

El punto de equilibrio está a $3{,}46\cdot10^{8}\ \text{m}$ de la Tierra, es decir, a solo unos $38\,000\ \text{km}$ de la Luna. Queda mucho más cerca de la Luna porque su masa es unas ochenta veces menor y su atracción tiene que ganar terreno con la proximidad.

$\textbf{c) Si en el punto de equilibrio anterior le damos a la nave una velocidad de } \boldsymbol{1\ \text{km/s}}\textbf{, ¿cuánto valdrá su energía mecánica total?}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y de las dos energías potenciales, una por cada astro:

$E_m = \dfrac12\,m\,v^2 - G\dfrac{M_T\,m}{x} - G\dfrac{M_L\,m}{d-x}$

Se calcula cada término por separado, con $x = 3{,}46\cdot10^{8}\ \text{m}$ y $d-x = 3{,}84\cdot10^{7}\ \text{m}$:

$\dfrac12\,m\,v^2 = \dfrac12\cdot3\cdot10^{4}\cdot(10^{3})^2 = 1{,}50\cdot10^{10}\ \text{J}$

$-G\dfrac{M_T\,m}{x} = -\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot3\cdot10^{4}}{3{,}46\cdot10^{8}} = -3{,}46\cdot10^{10}\ \text{J}$

$-G\dfrac{M_L\,m}{d-x} = -\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}\cdot3\cdot10^{4}}{3{,}84\cdot10^{7}} = -3{,}83\cdot10^{9}\ \text{J}$

Sumando:

$E_m = 1{,}50\cdot10^{10} - 3{,}46\cdot10^{10} - 3{,}83\cdot10^{9}$

$E_m = -2{,}35\cdot10^{10}\ \text{J}$

La energía mecánica es negativa, de modo que con esa velocidad la nave sigue ligada al sistema Tierra-Luna y no puede escapar de él.