Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla-La Mancha · 2024

Hacemos incidir un haz de luz en la parte curva de un hemicilindro de un material desconocido, y registramos los ángulos de entrada y salida del haz en una tabla. Determine justificadamente el valor del índice de refracción del material, y copie la siguiente tabla en sus hojas completando las casillas vacías. Si algún valor no puede calcularse, márquelo con un asterisco (*) y explique por qué.

Rayo	1	2	3	4	5 $\theta_{\text{incidente}}\ \text{(grados)}$	5		20		50 $\theta_{\text{reflejado}}\ \text{(grados)}$		10			$\theta_{\text{transmitido}}\ \text{(grados)}$		17,2		40

El haz entra por la cara curva del hemicilindro dirigido hacia su centro, de modo que incide perpendicularmente a esa superficie y no se desvía. La refracción ocurre solo en la cara plana, al pasar del vidrio al aire, y es ahí donde se aplica la ley de Snell:

$n\,\text{sen}\,\theta_{\text{incidente}} = n_{\text{aire}}\,\text{sen}\,\theta_{\text{transmitido}}$





El único rayo del que se conocen a la vez el ángulo de entrada y el de salida es el 2. Su ángulo de incidencia se deduce de la ley de la reflexión, según la cual el ángulo reflejado es igual al incidente:

$\theta_{\text{incidente}} = \theta_{\text{reflejado}} = 10^\circ$

Con ese par de valores se obtiene el índice de refracción del material:

$n = \dfrac{\text{sen}(17{,}2^\circ)}{\text{sen}(10^\circ)} = \dfrac{0{,}296}{0{,}174} = 1{,}70$

Antes de completar la tabla conviene calcular el ángulo límite, porque marca a partir de qué incidencia deja de haber rayo transmitido:

$n\,\text{sen}\,\theta_L = \text{sen}(90^\circ)\;\Rightarrow\; \theta_L = \arcsin\left(\dfrac{1}{1{,}70}\right) = 36{,}0^\circ$

Ahora se completan las casillas. El ángulo reflejado coincide siempre con el incidente, y el transmitido sale de la ley de Snell:

$\text{Rayo 1: }\ \text{sen}\,\theta_t = 1{,}70\,\text{sen}(5^\circ) = 0{,}148\;\Rightarrow\;\theta_t = 8{,}5^\circ$

$\text{Rayo 3: }\ \text{sen}\,\theta_t = 1{,}70\,\text{sen}(20^\circ) = 0{,}582\;\Rightarrow\;\theta_t = 35{,}6^\circ$

$\text{Rayo 4: }\ \text{sen}\,\theta_i = \dfrac{\text{sen}(40^\circ)}{1{,}70} = 0{,}377\;\Rightarrow\;\theta_i = 22{,}2^\circ$

$\text{Rayo 5: }\ \text{sen}\,\theta_t = 1{,}70\,\text{sen}(50^\circ) = 1{,}30 > 1$

La tabla completa queda así:

Rayo	1	2	3	4	5 $\theta_{\text{incidente}}\ \text{(grados)}$	5	10	20	22,2	50 $\theta_{\text{reflejado}}\ \text{(grados)}$	5	10	20	22,2	50 $\theta_{\text{transmitido}}\ \text{(grados)}$	8,5	17,2	35,6	40	(*)

La casilla marcada con el asterisco es la del rayo 5. Su ángulo de incidencia, $50^\circ$, supera el ángulo límite de $36{,}0^\circ$, de modo que la ley de Snell exigiría un seno mayor que la unidad, cosa imposible. No existe rayo transmitido: se produce reflexión total y toda la luz vuelve al vidrio.