Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

En lo más alto del monte Everest realizamos un experimento para medir el valor de la gravedad terrestre, que a esta altura es de $9{,}77\ \text{m/s}^2$. Si medimos el periodo de oscilación varias veces obtenemos los siguientes resultados:

Medida	1	2	3	4	5	6 $T\ \text{(s)}$	0,89	0,88	0,90	0,88	0,91	0,92

¿Qué longitud tiene el péndulo que estamos usando? ¿Si duplicamos su longitud, el periodo de oscilación también se duplica? Justifique la respuesta.

El periodo de un péndulo simple de longitud $L$ que oscila con pequeña amplitud es:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

Se toma como valor del periodo la media aritmética de las seis medidas, que es lo que reduce el efecto de los errores accidentales de cada cronometraje:

$\overline{T} = \dfrac{0{,}89 + 0{,}88 + 0{,}90 + 0{,}88 + 0{,}91 + 0{,}92}{6} = 0{,}897\ \text{s}$

Se despeja la longitud de la expresión del periodo:

$T^2 = 4\pi^2\dfrac{L}{g}\;\Rightarrow\; L = \dfrac{g\,T^2}{4\pi^2}$

Y se sustituye con el valor de la gravedad en la cima del Everest:

$L = \dfrac{9{,}77\cdot0{,}897^2}{4\pi^2} = 0{,}199\ \text{m}$

El péndulo mide unos $19{,}9\ \text{cm}$, es decir, prácticamente $20\ \text{cm}$.

Al duplicar la longitud el periodo no se duplica. La dependencia no es lineal sino con la raíz cuadrada de la longitud:

$T' = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{g}} = \sqrt2\cdot2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} = \sqrt2\,T$

$T' = 1{,}41\cdot0{,}897 = 1{,}27\ \text{s}$

El periodo solo se multiplica por $\sqrt2 \approx 1{,}41$. Para que llegara a duplicarse habría que cuadruplicar la longitud del péndulo.