Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Se tienen dos cargas puntuales: $q_1 = 5\ \text{nC}$ en el punto de coordenadas $(a,a)$ y $q_2 = -5\ \text{nC}$ en el punto de coordenadas $(-a,-a)$. Las posiciones están en metros.

a) Haga un esquema de las cargas y dibuje el vector campo eléctrico en los puntos de coordenadas $(-a,a)$ y $(a,-a)$.

b) Sabiendo que en el punto $(-a,a)$ una carga $q_0 = 4\ \text{nC}$ experimenta una fuerza $\vec{F} = -5 \cdot 10^{-9}\,\vec{\imath} - 5 \cdot 10^{-9}\,\vec{\jmath}\ \text{(N)}$, determine el valor de $a$.

Dato: $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$.

$\textbf{a) Haga un esquema de las cargas y dibuje el vector campo eléctrico en los puntos de coordenadas } \boldsymbol{(-a,a)}\textbf{ y } \boldsymbol{(a,-a)}\textbf{.}$










Las dos cargas están sobre la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y los puntos pedidos, sobre la otra diagonal. Los cuatro puntos forman un cuadrado de diagonal $2a\sqrt2$.

La distancia de cada carga a cada uno de esos dos puntos es la misma:

$r = |(-a,a)-(a,a)| = 2a$

$r = |(-a,a)-(-a,-a)| = 2a$





El campo de la carga positiva $q_1$ sale de ella, y el de la negativa $q_2$ entra en ella. En el punto $M(-a,a)$:

$\vec E_1 = K\dfrac{q_1}{(2a)^2}\,(-\vec{\imath})\qquad \vec E_2 = K\dfrac{|q_2|}{(2a)^2}\,(-\vec{\jmath})$

Como las dos cargas tienen el mismo valor absoluto y están a la misma distancia, los dos campos tienen igual módulo y son perpendiculares entre sí. El campo resultante es su diagonal, dirigida hacia el tercer cuadrante, paralela a la línea que une las dos cargas y con sentido de la positiva a la negativa.

En el punto $(a,-a)$ ocurre exactamente lo mismo por simetría: el campo resultante tiene el mismo módulo y la misma dirección y sentido que en $M$.

$\textbf{b) Sabiendo que en el punto } \boldsymbol{(-a,a)}\textbf{ una carga } \boldsymbol{q_0 = 4\ \text{nC}}\textbf{ experimenta una fuerza } \boldsymbol{\vec F = -5\cdot10^{-9}\,\vec{\imath} - 5\cdot10^{-9}\,\vec{\jmath}\ \text{(N)}}\textbf{, determine el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{.}$

La fuerza sobre la carga de prueba es:

$\vec F = q_0\,\vec E = q_0\,(\vec E_1 + \vec E_2)$

Escribiendo las dos componentes por separado, y como el módulo de los dos campos es el mismo:

$F_x = -q_0\,K\dfrac{q_1}{(2a)^2}\qquad F_y = -q_0\,K\dfrac{q_1}{(2a)^2}$

lo que explica que las dos componentes de la fuerza del enunciado sean iguales. Basta imponer una de ellas:

$q_0\,K\dfrac{q_1}{4a^2} = 5\cdot10^{-9}$

$4\cdot10^{-9}\cdot9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{5\cdot10^{-9}}{4a^2} = 5\cdot10^{-9}$

Se despeja:

$a^2 = \dfrac{4\cdot10^{-9}\cdot9\cdot10^{9}\cdot5\cdot10^{-9}}{4\cdot5\cdot10^{-9}} = 9$

$a = 3\ \text{m}$

Las cargas están, por tanto, en los puntos $(3,3)$ y $(-3,-3)$, separadas entre sí $6\sqrt2 = 8{,}49\ \text{m}$.