Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

Con objeto de estimar experimentalmente el valor de la constante de Planck, se ilumina la superficie de un metal con una luz de frecuencia $2{,}4 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}$, y se produce el efecto fotoeléctrico de forma que los electrones llevan una energía de $1{,}152 \cdot 10^{-18}\ \text{J}$. En un segundo ensayo, a la radiación incidente se le da una frecuencia de $1{,}97 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}$, y la energía de los electrones se reduce hasta $8{,}9 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$. Deduzca el valor estimado de la constante de Planck y el valor del trabajo de extracción.

Según la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción del metal y la energía cinética del electrón emitido:

$h\,f = W_0 + E_c\;\Rightarrow\; E_c = h\,f - W_0$

Es la ecuación de una recta cuando se representa $E_c$ frente a la frecuencia: la pendiente es la constante de Planck y la ordenada en el origen, el trabajo de extracción cambiado de signo.





Los dos ensayos del enunciado son dos puntos de esa recta:

$E_{c1} = h\,f_1 - W_0\qquad E_{c2} = h\,f_2 - W_0$

Restando ambas ecuaciones desaparece el trabajo de extracción, que es el mismo metal en los dos casos:

$E_{c1} - E_{c2} = h\,(f_1 - f_2)\;\Rightarrow\; h = \dfrac{E_{c1} - E_{c2}}{f_1 - f_2}$

Se sustituyen los datos:

$h = \dfrac{1{,}152\cdot10^{-18} - 8{,}9\cdot10^{-19}}{2{,}4\cdot10^{15} - 1{,}97\cdot10^{15}} = \dfrac{2{,}62\cdot10^{-19}}{4{,}3\cdot10^{14}}$

$h = 6{,}09\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$

El valor estimado se aproxima razonablemente al aceptado, $6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, con una desviación de un $8\ \%$.

El trabajo de extracción se obtiene sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones:

$W_0 = h\,f_1 - E_{c1} = 6{,}09\cdot10^{-34}\cdot2{,}4\cdot10^{15} - 1{,}152\cdot10^{-18}$

$W_0 = 3{,}10\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y expresado en electronvoltios:

$W_0 = \dfrac{3{,}10\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 1{,}94\ \text{eV}$