Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2024

En una fábrica se están instalando alarmas contra incendios. Para medir la intensidad del sonido que generan se hace sonar una de ellas a $150\ \text{m}$ de un receptor, donde se mide una intensidad de $0{,}20\ \text{W/m}^2$. Calcule el nivel de intensidad sonora correspondiente a esa lectura inicial. ¿A qué distancia habría que colocarse de ella para que el nivel de intensidad sonora fuera el máximo que permite la ley, $90\ \text{dB}$?

Dato: intensidad umbral del oído humano, $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$.

El nivel de intensidad sonora se define, a partir de la intensidad umbral del oído humano, como:

$\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}$

Se sustituyen los datos de la lectura inicial:

$\beta_1 = 10\log\dfrac{0{,}20}{10^{-12}} = 10\log(2\cdot10^{11})$

$\beta_1 = 113{,}0\ \text{dB}$





Para la segunda parte se usa que la alarma emite en todas direcciones, de modo que la potencia se reparte sobre frentes de onda esféricos y la intensidad decae con el cuadrado de la distancia:

$I = \dfrac{P}{4\pi r^2}\;\Rightarrow\; \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{r_2^2}{r_1^2}$

Primero se obtiene la intensidad que corresponde a $90\ \text{dB}$:

$90 = 10\log\dfrac{I_2}{10^{-12}}\;\Rightarrow\; \dfrac{I_2}{10^{-12}} = 10^{9}$

$I_2 = 10^{-3}\ \text{W/m}^2$

Y se despeja la distancia:

$r_2 = r_1\sqrt{\dfrac{I_1}{I_2}} = 150\sqrt{\dfrac{0{,}20}{10^{-3}}} = 150\sqrt{200}$

$r_2 = 2{,}12\cdot10^{3}\ \text{m}$

El nivel inicial es de $113{,}0\ \text{dB}$ y hay que situarse a unos $2{,}12\ \text{km}$ de la alarma para que baje a los $90\ \text{dB}$ que permite la ley.